codeforces 594 D. REQ (树状数组+欧拉函数+逆元)

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题意:给出n个数,q个查询,每组一个区间,询问区间中所有数的乘积的欧拉函数%1E9+7的答案是多少。

思路:这道题需要一点欧拉函数的知识。

phi(n)是欧拉函数,意义为小于等于n并且与n互质的数的个数。

To calculate the answer on every query let’s use the formula , where p1, p2, …, pk — all prime numbers which dividedn.

如果知道欧拉函数的这个公式。。。那么这道题就成了水题。。。。

考虑两个数a,b的欧拉函数。

一开始考虑也许有什么性质。。。查了下欧拉函数的wiki
欧拉函数_维基百科
欧拉函数是积性函数(但不是完全积性函数。。因此必须phi(ab) =phi(a)*phi(b)成立当且仅当gcd(a,b)==1)

然而这里并不一定满足互质的条件。。。

 

再想一下。。。发现完全没必要由phi(a)和phi(b)得到phi(a*b)

直接把a*b看成一个数就好了。。。。

后面质因子乘积部分只需要把两部分的并在一起就好了。。。

所以根据上面欧拉函数的公式。。。答案分为两部分。。。

一部分是区间中所有数的乘积。。。

一部分是区间中所有数的不相同的素因子的p-1/p形式的乘积。。。

第一部分预处理前缀积即可。。。由于有%运算。。。所以除的时候需要计算逆元。。。

第二部分的做法同spoj_dquery解题报告

也是离线处理,把询问按照区间右端点排序升序排列,然后lst数组记录上次该数出现的位置。。。用bit维护一个从1到某个数的乘积。。。在撤销的时候同样需要逆元。。。

 

还要注意。。。太长的式子一定要分开写。。。。

因为写错括号顺序调了半天orz…

 

 

 

 

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