最大连续区间和的算法总结

最大连续区间和是一个经典的问题。给定一个长度为n的序列a[1],a[2]…a[n-1],a[n],求一个连续的子序列a[i],a[i+1]…a[j-1],a[j],使得a[i]+a[i+1]…a[j-1]+a[j]最大。

①最简单最容易想到的就是根据定义来枚举。
枚举上下界{i,j | 0<=i<=j<=n},维护一个max值即可。
其中枚举上下界的时间复杂度为O(n^2),求区间和的复杂度为O(n),所以总时间复杂度为O(n^3)。

 (  i = 1 ; i <= n ; i++ )
     (  j = i ; j <= n ; j++ )
        ans = max(ans,accumulate(a+i,a+j+1,0));

②其实就是第一种方法的优化。
这里有个很容易想到的优化,即预处理出前缀和sum[i]=a[0]+a[1]+…+a[i-1]+a[i],算区间和的时候即可将求区间和的复杂度降到O(1),枚举上下界的复杂度不变,所以总时间复杂度为O(n^2)。

 (  i = 1 ; i <= n ; i++ )
    sum[i]=sum[i-1]+a[i];
 (  i = 1 ; i <= n ; i++ )
     (  j = i ; j <= n ; j++ )
        ans = max(ans,sum[j]-sum[i-1]);

③可以利用动态规划的思维来继续优化,得到一个线性的算法,也是最大连续区间和的标准算法
定义maxn[i]为以i为结尾的最大连续和,则很容易找到递推关系:maxn[i]=max{0,maxn[i-1]}+a[i]。
所以只需要扫描一遍即可,总时间复杂度为O(n)。

 (  i = 1 ; i <= n ; i++ )
{
    last = max(0,last)+a[i];
    ans = max(ans,last);
}

④同样用到类似的思维。
首先也需要预处理出前缀和sum[i],可以推出ans=max{sum[i]-min{sum[j] } | 0<=j而最小前缀和可以动态维护,所以总时间复杂度为O(n)。

 (  i = 1 ; i <= n ; i++ )
    sum[i]=sum[i-1]+a[i];
 (  i = 1 ; i <= n ; i++ )
{
    ans = max(ans,sum[i]-minn);
    minn = min(minn,sum[i]);
}

总结:虽然朴素的O(n^3)和前缀和优化的O(n^2)算法很容易想到,但代码实现却反而比方法三麻烦,第四个方法虽然有和方法三相同的复杂度,但需要一个预处理和多出的O(n)的空间,所以,方法三很好很强大。

作者: CrazyKK

ex-ACMer@hust,stackoverflow-engineer@sensetime

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