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【2-SAT问题】(转自kuangbin的博客)

【2-SAT问题】
现有一个由N个布尔值组成的序列A,给出一些限制关系,比如A[x] AND A[y]=0、A[x] OR A[y] OR A[z]=1等,要确定A[0..N-1]的值,使得其满足所有限制关系。这个称为SAT问题,特别的,若每种限制关系中最多只对两个元素进行限制,则称为2-SAT问题。

由于在2-SAT问题中,最多只对两个元素进行限制,所以可能的限制关系共有11种:
A[x]
NOT A[x]
A[x] AND A[y]
A[x] AND NOT A[y]
A[x] OR A[y]
A[x] OR NOT A[y]
NOT (A[x] AND A[y])
NOT (A[x] OR A[y])
A[x] XOR A[y]
NOT (A[x] XOR A[y])
A[x] XOR NOT A[y]
进一步,A[x] AND A[y]相当于(A[x]) AND (A[y])(也就是可以拆分成A[x]与A[y]两个限制关系),NOT(A[x] OR A[y])相当于NOT A[x] AND NOT A[y](也就是可以拆分成NOT A[x]与NOT A[y]两个限制关系)。因此,可能的限制关系最多只有9种。

在实际问题中,2-SAT问题在大多数时候表现成以下形式:有N对物品,每对物品中必须选取一个,也只能选取一个,并且它们之间存在某些限制关系(如某两个物品不能都选,某两个物品不能都不选,某两个物品必须且只能选一个,某个物品必选)等,这时,可以将每对物品当成一个布尔值(选取第一个物品相当于0,选取第二个相当于1),如果所有的限制关系最多只对两个物品进行限制,则它们都可以转化成9种基本限制关系,从而转化为2-SAT模型。

【建模】
其实2-SAT问题的建模是和实际问题非常相似的。
建立一个2N阶的有向图,其中的点分为N对,每对点表示布尔序列A的一个元素的0、1取值(以下将代表A[i]的0取值的点称为i,代表A[i]的1取值的点称为i’)。显然每对点必须且只能选取一个。然后,图中的边具有特定含义。若图中存在边,则表示若选了i必须选j。可以发现,上面的9种限制关系中,后7种二元限制关系都可以用连边实现,比如NOT(A[x] AND A[y])需要连两条边,A[x] OR A[y]需要连两条边。而前两种一元关系,对于A[x](即x必选),可以通过连边来实现,而NOT A[x](即x不能选),可以通过连边来实现。

【O(NM)算法:求字典序最小的解】
根据2-SAT建成的图中边的定义可以发现,若图中i到j有路径,则若i选,则j也要选;或者说,若j不选,则i也不能选;
因此得到一个很直观的算法:
(1)给每个点设置一个状态V,V=0表示未确定,V=1表示确定选取,V=2表示确定不选取。称一个点是已确定的当且仅当其V值非0。设立两个队列Q1和Q2,分别存放本次尝试选取的点的编号和尝试不选的点的编号。
(2)若图中所有的点均已确定,则找到一组解,结束,否则,将Q1、Q2清空,并任选一个未确定的点i,将i加入队列Q1,将i’加入队列Q2;
(3)找到i的所有后继。对于后继j,若j未确定,则将j加入队列Q1;若j’(这里的j’是指与j在同一对的另一个点)未确定,则将j’加入队列Q2;
(4)遍历Q2中的每个点,找到该点的所有前趋(这里需要先建一个补图),若该前趋未确定,则将其加入队列Q2;
(5)在(3)(4)步操作中,出现以下情况之一,则本次尝试失败,否则本次尝试成功:
<1>某个已被加入队列Q1的点被加入队列Q2;
<2>某个已被加入队列Q2的点被加入队列Q1;
<3>某个j的状态为2;
<4>某个i’或j’的状态为1或某个i’或j’的前趋的状态为1;
(6)若本次尝试成功,则将Q1中的所有点的状态改为1,将Q2中所有点的状态改为2,转(2),否则尝试点i’,若仍失败则问题无解。
该算法的时间复杂度为O(NM)(最坏情况下要尝试所有的点,每次尝试要遍历所有的边),但是在多数情况下,远远达不到这个上界。
具体实现时,可以用一个数组vst来表示队列Q1和Q2。设立两个标志变量i1和i2(要求对于不同的i,i1和i2均不同,这样可以避免每次尝试都要初始化一次,节省时间),若vst[i]=i1则表示i已被加入Q1,若vst[i]=i2则表示i已被加入Q2。不过Q1和Q2仍然是要设立的,因为遍历(BFS)的时候需要队列,为了防止重复遍历,加入Q1(或Q2)中的点的vst值必然不等于i1(或i2)。中间一旦发生矛盾,立即中止尝试,宣告失败。

该算法虽然在多数情况下时间复杂度到不了O(NM),但是综合性能仍然不如下面的O(M)算法。不过,该算法有一个很重要的用处:求字典序最小的解!
如果原图中的同一对点编号都是连续的(01、23、45……)则可以依次尝试第0对、第1对……点,每对点中先尝试编号小的,若失败再尝试编号大的。这样一定能求出字典序最小的解(如果有解的话),因为一个点一旦被确定,则不可更改
如果原图中的同一对点编号不连续(比如03、25、14……)则按照该对点中编号小的点的编号递增顺序将每对点排序,然后依次扫描排序后的每对点,先尝试其编号小的点,若成功则将这个点选上,否则尝试编号大的点,若成功则选上,否则(都失败)无解。

1、HDU 3622 Bomb Game

2-sat构图进行可行性判断问题。二分+2-sat求解。

解题报告here

HDU 3622

 

HDU 3622

 

2、HDU  1814  Peaceful Commission

2-sat题目。要求输出字典序最小解。

解题报告见here

输出字典序最小的解的程序:

 

HDU 1814

 

另外写了一个输出任意一组解的程序:

HDU 1814

 

 3、POJ 3207 Ikki’s Story IV – Panda’s Trick

 可行性判断

解题报告见here

POJ 3207

 

 4、POJ 2296 Map Labeler

二分+2-SAT可行性判断

 和HDU 3644很相似的方法。

解题报告here

POJ 2296

 

 

5、POJ  3648 Wedding

此题陷进比较多。要输出一组解的2-SAT。

POJ 3648
POJ 3648

 6、POJ 3678 Katu Puzzle 

给出一些两两之间的AND,OR,XOR表达式的值,问有没有解。

经典的2-SAT问题。简单。

 

POJ 3678

 

 7、HDU 4115 Eliminate the Conflict

2-SAT判断是否有解问题。主要是要细心,注意细节。

 

HDU 4115

 

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