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筛法求素数(转载)

TAG 素数  数论

 

素数总是一个比较常涉及到的内容,掌握求素数的方法是一项基本功。

基本原则就是题目如果只需要判断少量数字是否为素数,直接枚举因子2 。。N^(0.5) ,看看能否整除N。

如果需要判断的次数较多,则先用下面介绍的办法预处理。

 

 一般的线性筛法

首先先介绍一般的线性筛法求素数

 

 

[cpp] view plaincopy

 
  1. void make_prime()  {        
  2.     memset(prime, 1, sizeof(prime));  
  3.     prime[0]=false;       
  4.     prime[1]=false;       
  5.     int N=31700;        
  6.     for (int i=2;  i
  7.       if (prime[i]) {            
  8.         primes[++cnt ]=i;       
  9.         for (int k=i*i; k
  10.             prime[k]=false;         
  11.       }        
  12.     return;  
  13. }     

 

这种方法比较好理解,初始时,假设全部都是素数,当找到一个素数时,显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数(注意上面的 i*i ,  比 i*2 要快点 ),把这些合数都筛掉,即算法名字的由来。

但仔细分析能发现,这种方法会造成重复筛除合数,影响效率。比如10,在i=2的时候,k=2*15筛了一次;在i=5,k=5*6 的时候又筛了一次。所以,也就有了快速线性筛法。

 

快速线性筛法

快速线性筛法没有冗余,不会重复筛除一个数,所以“几乎”是线性的,虽然从代码上分析,时间复杂度并不是O(n)。先上代码

 

[cpp] view plaincopy

 
  1. #include  
  2. using namespace std;      
  3. const long N = 200000;     
  4. long prime[N] = {0},num_prime = 0;      
  5. int isNotPrime[N] = {1, 1};     
  6. int main()      
  7. {       
  8.         for(long i = 2 ; i < N ; i ++)         
  9.         {              
  10.         if(! isNotPrime[i])                 
  11.             prime[num_prime ++]=i;    
  12.         //关键处1          
  13.         for(long j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] <  N ; j ++)  
  14.             {                 
  15.                 isNotPrime[i * prime[j]] = 1;    
  16.             if( !(i % prime[j] ) )  //关键处2                    
  17.                 break;             
  18.         }          
  19.     }          
  20.     return 0;     
  21. }    

 

 

首先,先明确一个条件,任何合数都能表示成一系列素数的积。

 

不管 i 是否是素数,都会执行到“关键处1”,

 

①如果 i 都是是素数的话,那简单,一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数,这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1,p2之间不相等

 

②如果 i 是合数,此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1*p2*…*pn, pi都是素数(2<=i<=n),  pi<=pj  ( i<=j )

p1是最小的系数。

根据“关键处2”的定义,当p1==prime[j] 的时候,筛除就终止了,也就是说,只能筛出不大于p1的质数*i。

 

我们可以直观地举个例子。i=2*3*5

此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i

如果能筛除3*i 的话,当 i’ 等于 i’=3*3*5 时,筛除2*i’ 就和前面重复了。

 

需要证明的东西:

  1. 一个数会不会被重复筛除。
  2. 合数肯定会被干掉。

根据上面红字的条件,现在分析一个数会不会被重复筛除。

设这个数为 x=p1*p2*…*pn, pi都是素数(1<=i<=n)  ,  pi<=pj ( i<=j ) 

当 i = 2 时,就是上面①的情况,

当 i >2 时, 就是上面②的情况, 对于 i ,第一个能满足筛除 x 的数  y 必然为 y=p2*p3…*pn(p2可以与p1相等或不等),而且满足条件的 y 有且只有一个。所以不会重复删除。

 

证明合数肯定会被干掉? 用归纳法吧。

 

 类比一个模型,比如说我们要找出 n 中2个不同的数的所有组合 { i , j } ,1<=i<=n, 1<=j<=n,

我们会这么写

for (i=1; i

  for (j=i+1; j<=n; ++j)

   {

    /////

   }

我们取 j=i+1 便能保证组合不会重复。快速筛法大概也是这个道理,不过这里比较难理解,没那么直观。

 

1楼提供的方法,我整理下

//偶数显然不行,所以先去掉偶数。可以看作上面第一种的优化吧。

//不过这种方法不太直观,不太好理解。

 

 

[cpp] view plaincopy

 
    1. 我推荐这个算法! 易于理解。 只算奇数部分,时空效率都还不错!  
    2. half=SIZE/2;   
    3. int sn = (int) sqrt(SIZE);   
    4. for (i = 0; i < half; i++)   
    5.    p[i] = true;// 初始化全部奇数为素数。p[0]对应3,即p[i]对应2*i+3   
    6. for (i = 0; i < sn; i++) {      
    7. if(p[i])//如果 i+i+3 是素数  
    8. {       
    9.     for(k=i+i+3, j=k*i+k+i; j < half; j+=k)   
    10.     // 筛法起点是 p[i]所对应素数的平方 k^2                                          
    11.     // k^2在 p 中的位置是 k*i+k+i  
    12.     //    下标 i         k*i+k+i  
    13.     //对应数值 k=i+i+3   k^2           
    14.        p[j]=false;   
    15. }   
    16. }   
    17. //素数都存放在 p 数组中,p[i]=true代表 i+i+2 是素数。  
    18. //举例,3是素数,按3*3,3*5,3*7…的次序筛选,因为只保存奇数,所以不用删3*4,3*6….  

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