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贝尔数(集合的划分数目)

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在组合数合里,贝尔数给出了集合划分的数目,以数学家埃里克·坦普尔·贝尔(Eric Temple Bell)命名,是组合数学中的一组整数数列。[1]
以B0= B1=1为始, 首几项的贝尔数为:1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, …(OEIS的A000110数列
Bn基数n集合划分数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族,它们的并是S。例如B3 = 5因为3个元素的集合{abc}有5种不同的划分方法:
  • {{a}, {b}, {c}}
  • {{a}, {bc}}
  • {{b}, {ac}}
  • {{c}, {ab}}
  • {{a, b, c}}

B0是1因为空集

正好有1种划分方法。划分的定义要求空集的划分中的每个成员都是非空集合,而它们的并是

本身。所以

是它自身的唯一划分。(这是定义所允许的因为

2公式编辑

贝尔数适合递推公式:
它们也适合“Dobinski公式”:

期望值为1的泊松分布的”n”次

它们也适合“Touchard同余”:若p是任意质数,那么
每个贝尔数都是”第二类Stirling数”的和
Stirling数S(n, k)是把基数为n的集划分为正好k个非空集的方法的数目。
把任一概率分布的n次矩以首n个累积量表示的多项式,其系数和正是第n个贝尔数。这种数划分的方法不像用Stirling数那个方法粗糙。
贝尔数的指数母函数

3贝尔三角形编辑

用以下方法建构一个三角矩阵(形式类似杨辉三角形):
(1) 第一行第一项是1(a_{1,1} = 1)

(2) 对于n>1,第n行第一项等同第n-1行最后一项。(

(3) 对于m,n>1,第n行第m项等于它左边和左上方的两个数之和。(

结果如下:(OEIS的A011971数列[2] )
每行首项是贝尔数。每行之和是第二类Stirling数
这个三角形称为贝尔三角形、Aitken阵列或Peirce三角形(Bell triangle, Aitken’s array, Peirce triangle)。

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