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poj 1305 (毕达哥拉斯三元组,构造勾股数)

题意是说,能构造多少本元勾股数和勾股数,要求构造的数<=n

所谓本元勾股数,就是三个勾股数没有公因数,两两互质。

由本元勾股数扩大k倍,就可以得到其他勾股数。

而构造本元勾股数的方法如下:

a=s*t,b=(s^2-t^2)/2,c=(s^2+t^2)/2

其中s>t>=1是任意没有公因数的奇数!

 

引用一段构造正确性的证明:

本原勾股数组(PPT)是一个三元组(a,b,c),其中a,b,c无公因数,且满足a² +b² =c²。

很明显存在无穷多个勾股数组(abc同乘以n),下面研究abc没有公因数的情况,先写出一些本原勾股数组:

case:(3,4,5) (5,12,13) (8,15,17) (7,24,25) (20,21,29)(9,40,41)(12,35,37)(11,60,61)(28,45,53) (33,56,65) (16,63,65)

观察可以看出a,b奇偶性不同且c总是奇数。(用一点技巧可以证明这是正确的)

3² = 5² – 4² = (5-4)(5+4) = 1 × 9

15² = 17²-8² = (17-8)(17+8) = 9 ×25

35² = 37² – 12² = (37-12)(37+12) = 25 ×49

……

很神奇的是似乎c-b与c+b总是平方数,并且c-b与c+b木有公因数。证明一下下:假设有公因数,设d是c-b与c+b的公因数,则d也整除(c+b)+(c-b)=2c, (c+b)-(c-b) = 2b,所以d整除2c,2b,但是b,c木有公因数,又假设了(a,b,c)是本原勾股数组,从而d等于1或2,又因为d整除(c-b)(c+b)=a².a²是奇数,所以d = 1,c-b与c+b木有公因数。,又因为(c-b)(c+b)=a²,所以c-b与c+b的积是平方数,只有二者都是平方数才会出现(可以把二者分解成素数乘积直观地看出),令c+b = s²,c-b=t²,解得

c=(s²+t²)/2, b=(s²-t²)/2,a = √(c-b)(c+b) = st.这就得出了勾股数组定理:

每个本原勾股数组(a,b,c)(a为奇数,b偶数)都可由如下公式得出:a=st,b=(s²-t²)/2, c = (s²+t²)/2, 其中s>t>=1是没有公因数的奇数。

当取t=1时就可以得到上面的许多例子。


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