hdu 2065 “红色病毒”问题 (指数型母函数,泰勒级数展开)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2065
题意:a,b,c,d四种元素,a,c只能出现偶数次(包括0次),b,d没有限制,问n个(2^64)个元素有多少种不同的组合。
思路:指数型母函数。。。n大的没办法用之前的办法做。

先来看下我们要求的式子:A=(1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!……)^2*(1+x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!……)^2.

其实一共四个式子相乘,但是a和c的情况相同,b和d的式子相同。

我们要求的是x^n的系数。。。n太大了。。直接搞肯定不行。

想到微积分学的泰勒展开。

e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+… (|x|<oo)

其实这里x的范围没有意义,因为母函数关注的是系数,不会代入x的值,所以可以不用考虑收敛性。

那么第一项(1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!……)^2就可以换成(e^x)^2

第二项没有奇数项,很容易想到可以写成((e^x+e^(-x))/2)^2

继续化简:4*A=(e^x)^2*((e^x+e^(-x))/2)^2

4*A = (e^(4x)+2*e^(2x)+1)

我们要的是x^n的系数,再正向泰勒展开,得到x^n的系数应该是 (4^n+2*2^n)/4,也就是4^(n-1)+2^(n-1)

因为只要后两位的结果,其实就是结果%100.快速幂搞之。

以及,2^64 long long 存不下,应该用unsigned long long ,类型说明符是 %llu

 

 

 

 

作者: CrazyKK

ex-ACMer@hust,researcher@sensetime

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