hdu 2065 “红色病毒”问题 (指数型母函数，泰勒级数展开)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2065
题意：a,b,c,d四种元素，a,c只能出现偶数次（包括0次），b,d没有限制，问n个（2^64）个元素有多少种不同的组合。
思路：指数型母函数。。。n大的没办法用之前的办法做。

先来看下我们要求的式子：A=(1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!……)^2*(1+x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!……)^2.

其实一共四个式子相乘，但是a和c的情况相同，b和d的式子相同。

我们要求的是x^n的系数。。。n太大了。。直接搞肯定不行。

想到微积分学的泰勒展开。

e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+… (|x|<oo)

其实这里x的范围没有意义，因为母函数关注的是系数，不会代入x的值，所以可以不用考虑收敛性。

那么第一项(1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!……)^2就可以换成(e^x)^2

第二项没有奇数项，很容易想到可以写成(（e^x+e^(-x)）/2)^2

继续化简：4*A=(e^x)^2*((e^x+e^(-x))/2)^2

4*A = (e^(4x)+2*e^(2x)+1)

我们要的是x^n的系数，再正向泰勒展开，得到x^n的系数应该是 (4^n+2*2^n)/4,也就是4^(n-1)+2^(n-1)

因为只要后两位的结果，其实就是结果%100.快速幂搞之。

以及，2^64 long long 存不下，应该用unsigned long long ，类型说明符是 %llu

 

 

 

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/* ***********************************************
Author :111qqz
Created Time :2016年02月28日 星期日 14时01分58秒
File Name :code/hdu/2065.cpp
************************************************ */
 
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#define fst first
#define sec second
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
typedef unsigned long long LL;
#define pi pair < int ,int >
#define MP make_pair
 
using namespace std;
const double eps = 1E-8;
const int dx4[4]={1,0,0,-1};
const int dy4[4]={0,-1,1,0};
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const LL MOD = 100;
LL n;
LL ksm(LL a,LL b)
{
    LL res = 1LL;
    while (b)
    {
        if (b&1) res = (res*a)%MOD;
        b = b>>1;
        a =(a*a)%MOD;
    }
    return res;
}
int main()
{
        #ifndef  ONLINE_JUDGE
        freopen("code/in.txt","r",stdin);
  #endif
        int T;
 
        while (~scanf("%d",&T))
        {
            if (T==0) break;
            int cas = 0 ;
            while (T--)
            {
                printf("Case %d: ",++cas);
                scanf("%llu",&n);
                LL ans = ksm(4,n-1)+ksm(2,n-1);
                ans %=MOD;
                printf("%llu\n",ans);
            }
            printf("\n");
        }
        
 
  #ifndef ONLINE_JUDGE  
  fclose(stdin);
  #endif
    return 0;
}
 
 
 
 

 

作者： CrazyKK

ex-ACMer@hust，stackoverflow-engineer@sensetime

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