http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2065
题意：a,b,c,d四种元素，a,c只能出现偶数次（包括0次），b,d没有限制，问n个（2^64）个元素有多少种不同的组合。
思路：指数型母函数。。。n大的没办法用之前的办法做。
先来看下我们要求的式子：A=(1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!……)^2*(1+x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!……)^2.
其实一共四个式子相乘，但是a和c的情况相同，b和d的式子相同。
我们要求的是x^n的系数。。。n太大了。。直接搞肯定不行。
想到微积分学的泰勒展开。
e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+… (|x|<oo)
其实这里x的范围没有意义，因为母函数关注的是系数，不会代入x的值，所以可以不用考虑收敛性。
那么第一项(1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!……)^2就可以换成(e^x)^2
第二项没有奇数项，很容易想到可以写成(（e^x+e^(-x)）/2)^2
继续化简：4*A=(e^x)^2*((e^x+e^(-x))/2)^2
4*A = (e^(4x)+2*e^(2x)+1)
我们要的是x^n的系数，再正向泰勒展开，得到x^n的系数应该是 (4^n+2*2^n)/4,也就是4^(n-1)+2^(n-1)
因为只要后两位的结果，其实就是结果%100.快速幂搞之。
以及，2^64 long long 存不下，应该用unsigned long long ，类型说明符是 %llu
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/* *********************************************** Author :111qqz Created Time :2016年02月28日 星期日 14时01分58秒 File Name :code/hdu/2065.cpp ************************************************ */ #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #include <vector> #include <queue> #include <set> #include <map> #include <string> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <ctime> #define fst first #define sec second #define lson l,m,rt<<1 #define rson m+1,r,rt<<1|1 #define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a)) typedef unsigned long long LL; #define pi pair < int ,int > #define MP make_pair using namespace std; const double eps = 1E-8; const int dx4[4]={1,0,0,-1}; const int dy4[4]={0,-1,1,0}; const int inf = 0x3f3f3f3f; const LL MOD = 100; LL n; LL ksm(LL a,LL b) { LL res = 1LL; while (b) { if (b&1) res = (res*a)%MOD; b = b>>1; a =(a*a)%MOD; } return res; } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("code/in.txt","r",stdin); #endif int T; while (~scanf("%d",&T)) { if (T==0) break; int cas = 0 ; while (T--) { printf("Case %d: ",++cas); scanf("%llu",&n); LL ans = ksm(4,n-1)+ksm(2,n-1); ans %=MOD; printf("%llu\n",ans); } printf("\n"); } #ifndef ONLINE_JUDGE fclose(stdin); #endif return 0; } |
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