poj 1322 chocolate (指数型母函数 )

2016-03-02 · 3 min read · 母函数组合数学

思路：别看n,m很大。。。但是想一下。。m显然不可能大于c(如果大于c，那么根据抽屉原理，至少存在一种巧克力大于一个，然而大于一个就会被取走...矛盾) 这样概率为0.m也不可能大于n，因为最好的情况就是取出的巧克力都放在了桌子上，如果总共取的还不到n个，又怎么可能剩下m（m>n）个呢。此外，还需要n,m奇偶性相同，否则设n-m=2K+1 ,说明如果要剩余m个，那么就要减少2k+1个，但是巧克力是两个两个减少的，减少的个数一定是偶数，因此矛盾。所以n,m奇偶性相同。

接下来可以用概率dp做，由于n比较大，滚动一下应该可以... 然后看到别人的题解里写到当n>1000的时候已经趋向平衡（达到了要求的精度）... 这道题dp写起来的确容易，也不是很难想。

不过作为dp废宁愿选择数学方法，指数型母函数。

分析可知，取过偶数次的巧克力消失，只有取过奇数次的巧克力会留在桌子上。

那么要剩余m个巧克力，也就是有m种巧克力取了奇数次，剩下的c-m种巧克力取了偶数次。

对应的的生成函数（母函数）分别是(e^x-e(-x))/2和（e^x+e(-x)）/2 （推倒类似）hdu2065红色病毒解题报告

总事件个数为c^n

根据古典概型，所求概率为 (Gn*n!C[c][m])/(c^n) 其中Gnn!为生成函数，C[c][m]是因为不确定c种巧克力中的哪m种取了奇数个。

现在的问题就成了求Gn中x^n的系数。。我就是因为这个卡了两天这道题。。。

其实模拟就好，复杂度O(c^2)而已。。主要是好久没写二项式定理。。。有点忘了（手动智力-2）

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Author :111qqz
Created Time :2016年03月02日 星期三 18时57分58秒
File Name :code/poj/1322.cpp
************************************************ */

 1#include <cstdio>
 2#include <cstring>
 3#include <iostream>
 4#include <algorithm>
 5#include <vector>
 6#include <queue>
 7#include <set>
 8#include <map>
 9#include <string>
10#include <cmath>
11#include <cstdlib>
12#include <ctime>
13#define fst first
14#define sec second
15#define lson l,m,rt<<1
16#define rson m+1,r,rt<<1|1
17#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
18typedef long long LL;
19#define pi pair < int ,int >
20#define MP make_pair

1using namespace std;
2const double eps = 1E-8;
3const int dx4[4]={1,0,0,-1};
4const int dy4[4]={0,-1,1,0};
5const int inf = 0x3f3f3f3f;
6const int N=105;
7double c[N][N];
8int C,n,m;

 1void pre()
 2{
 3    c[0][0] = 1;
 4    for ( int i = 1 ; i <  N ; i++)
 5    {
 6	c[i][0]=c[i][i] = 1;
 7	for ( int j = 1 ; j < i ; j++) c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
 8    }
 9}
10double ksm( double a,int b)
11{
12    double res = 1.0;
13    while (b)
14    {
15	if (b&1) res = (res*a);
16	b = b>>1;
17	a = a*a;
18    }
19    return res;
20}
21void solve()
22{
23    double posi[N],nega[N],a[N],b[N];

1    ms(posi,0);
2    ms(nega,0);
3    ms(a,0);
4    ms(b,0);

 1    double tmp1=ksm(0.5,m);
 2    double tmp2;
 3    for ( int i = 0 ; i <= m ; i++)
 4    {
 5	int j = i-(m-i);
 6	if ((m-i)&1) tmp2 = -tmp1;
 7	    else tmp2 = tmp1 ;   //正负项
 8	if (j>=0) a[j]+=tmp2*c[m][i];
 9	    else b[-j] +=tmp2*c[m][i];
10    }

1    tmp1 = ksm(0.5,C-m);
2    for ( int i = 0 ; i <= C-m ; i++)
3    {
4	tmp2 = tmp1 *c[C-m][i];
5	for (int j = 0 ; j <= m ; j++)
6	{
7	    int k = j+i-(C-m-i);
8	    if (k>=0) posi[k]+=tmp2*a[j];
9	    else nega[-k]+=tmp2*a[j];

1	for ( int j = 0 ; j <= m ; j ++)
2	{
3	    int k = -j+i-(C-m-i);
4	    if (k>=0) posi[k]+=tmp2*b[j];
5	    else nega[-k]+=tmp2*b[j];

	}
    }

1    double ans =  0.0;
2    for ( int i = 1 ; i <= C ; i++)
3    {
4	if (n&1) nega[i]=-nega[i];
5	ans +=c[C][m]*ksm(1.0*i/(1.0*C),n)*(posi[i]+nega[i]);
6//	cout<<c[C][m]<<" "<<ksm(1.0*i/C,n)<<" "<<posi[i]+nega[i]<<endl;
7    }

    printf("%.3f\n",ans);

1}
2int main()
3{
4	#ifndef  ONLINE_JUDGE 
5	freopen("code/in.txt","r",stdin);
6  #endif

 1	pre();
 2	while (~scanf("%d",&C))
 3	{
 4	    if (C==0) break;
 5	    scanf("%d %d",&n,&m);
 6	    if ((n-m)%2||m>C||m>n)
 7	    {
 8		puts("0.000");
 9		continue;
10	    }
11	    if (n==0&&m==0)
12	    {
13		puts("1.000");
14		continue;
15	    }
16	    solve();

1  #ifndef ONLINE_JUDGE  
2  fclose(stdin);
3  #endif
4    return 0;
5}