KMP与最小覆盖子串

参考资料(本文大部分是参考这篇博客,附带一些证明步骤的解释)
首先明确一些概念:
最小覆盖子串:对于某个字符串s,它的最小覆盖子串指的是长度最小的子串p,p满足通过自身的多次连接得到q,最后能够使s成为q的子串。
比如:
对于s=”abcab”,它的最小覆盖子串p=”abc”,因为p通过在它后面再接上一个p(即重叠0个字符),可以得到q=”abcabc”,此时s是q的子串。
对于s=”ababab”,它的最小覆盖子串为p=”ab”。

 

pre[i](或next[i])的实质是串str[1..i]的最长且小于i的“相等前、后缀”分别为str[1..pre[i]](前缀)与str[(i-pre[i]+1)..i](后缀),通俗讲就是:使str[1..i]前k个字母与后k个字母相等的最大k值。

 

结论先行:最小覆盖子串(串尾多一小段时,用前缀覆盖)长度为n-next[n](n-pre[n]),其中n为串长,串的最后一位为为s[n-1].

 

证明分两部分:

1-长为n-next[n]的前缀必为覆盖子串。

当next[n]<n-next[n]时,如图a,长为next[n]的前缀A与长为next[n]的后缀B相等,故长为n-next[n]的前缀C必覆盖后缀B;

当next[n]>n-next[n]时,如图b,将原串X向后移n-next[n]个单位得到Y串,根据next的定义,知长为next[n]的后缀串A与长为前缀串B相等,X串中的长为n-next[n]的前缀C与Y串中的前缀D相等,而X串中的串E又与Y串中的D相等……可见X串中的长为n-next[n]的前缀C可覆盖全串(其实是一个不断的等价交换的过程,用同样的方法可以证明每两个相邻的相等,所以可以覆盖全串

 

2-长为n-next[n]的前缀是最短的。

如图c,串A是长为n-next[n]的前缀,串B是长为next[n]的后缀,假设存在长度小于n-next[n]的前缀C能覆盖全串,则将原串X截去前面一段C,得到新串Y,则Y必与原串长度大于next[n]的前缀相等,与next数组的定义(使str[1..i]前k个字母与后k个字母相等的最大k值。)矛盾。得证!有人问,为什么Y与原串长大于next[n]的前缀相等?由假设知原串的构成必为CCC……E(E为C的前缀),串Y的构成必为CC……E(比原串少一个C),懂了吧!

 

 

作者: CrazyKK

ex-ACMer@hust,researcher@sensetime

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