hdu 3977 Evil teacher (斐波那契数列循环节)

2016-10-30 · 3 min read · 二次剩余 循环节 斐波那契

题目链接

题意：f[0] = 1,f[1] = 1,f[i] = f[i-1] + f[i-2] (i>=2)，问最小的m满足f[n]%p==f[n+m]%p

思路：求斐波那契数列循环节。

参考了Acdreamer的博客_Fib数模n的循环节

对于一个正整数n，我们求Fib数模n的循环节的长度的方法如下：

（1）把n素因子分解，即

（2）分别计算Fib数模每个 的循环节长度，假设长度分别是

（3）那么Fib模n的循环节长度

从上面三个步骤看来，貌似最困难的是第二步，那么我们如何求Fib模 的循环节长度呢？

     这里有一个优美的定理：Fib数模 的最小循环节长度等于 ，其中 表示Fib数模素数 的最小循环节长度。可以看出我们现在最重要的就是求

对于求 我们利用如下定理：

   如果5是模 的二次剩余，那么循环节的的长度是 的因子，否则，循环节的长度是 的因子。

顺便说一句，对于小于等于5的素数，我们直接特殊判断，loop(2)=3,loop(3)=8,loop(5)=20。

那么我们可以先求出所有的因子，然后用矩阵快速幂来一个一个判断，这样时间复杂度不会很大。

这道题是模板题。博客中的模板代码很好理解...

换成了自己比较熟悉的矩阵构造方式，以及代码风格。

需要注意的是下标是从0开始的，当验证k是否为循环节的时候，应该验证f[k]和f[k+1]

/* ***********************************************
Author :111qqz
Created Time :Mon 31 Oct 2016 03:54:15 AM CST
File Name :code/hdu/3977.cpp
************************************************ */

 1#include <cstdio>
 2#include <cstring>
 3#include <iostream>
 4#include <algorithm>
 5#include <vector>
 6#include <queue>
 7#include <set>
 8#include <map>
 9#include <string>
10#include <cmath>
11#include <cstdlib>
12#include <ctime>
13#define fst first
14#define sec second
15#define lson l,m,rt<<1
16#define rson m+1,r,rt<<1|1
17#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
18typedef long long LL;
19#define pi pair < int ,int >
20#define MP make_pair

  1using namespace std;
  2const double eps = 1E-8;
  3const int dx4[4]={1,0,0,-1};
  4const int dy4[4]={0,-1,1,0};
  5const int inf = 0x3f3f3f3f;
  6LL P;
  7struct Mat
  8{
  9    LL mat[2][2];
 10    void clear()
 11    {
 12	ms(mat,0);
 13    }
 14}M,M1;
 15Mat mul (Mat a,Mat b,LL mod)
 16{
 17    Mat c;
 18    c.clear();
 19    for ( int i = 0 ; i < 2 ; i++)
 20	for ( int j = 0 ; j < 2 ; j++)
 21	    for ( int k  = 0 ; k < 2 ; k++)
 22		c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]%mod)%mod;
 23    return c;
 24}
 25Mat mat_ksm(Mat a,LL b,LL mod)
 26{
 27    Mat res;
 28    res.clear();
 29    for ( int i = 0 ; i < 2 ; i++) res.mat[i][i] = 1;
 30    while (b>0)
 31    {
 32	if (b&1) res = mul(res,a,mod);
 33	b = b >> 1LL;
 34	a = mul(a,a,mod);
 35    }
 36    return res;
 37}
 38LL gcd(LL a,LL b)
 39{
 40    return b?gcd(b,a%b):a;
 41}
 42const int N = 1E6+7;
 43bool prime[N];
 44int p[N];
 45void isprime() //一个普通的筛
 46{
 47    int cnt = 0 ;
 48    ms(prime,true);
 49    for ( int i = 2 ; i < N ; i++)
 50    {
 51	if (prime[i])
 52	{
 53	    p[cnt++] = i ;
 54	    for ( int j = i+i ; j < N ; j+=i) prime[j] = false;
 55	}
 56    }
 57}
 58LL ksm( LL a,LL b,LL mod)
 59{
 60   LL res = 1;
 61   while (b>0)
 62   {
 63       if (b&1) res = (res * a) % mod;
 64       b = b >> 1LL;
 65       a = a * a % mod;
 66   }
 67   return res;
 68}
 69LL legendre(LL a,LL p) //勒让德符号,判断二次剩余
 70{
 71    if (ksm(a,(p-1)>>1,p)==1) return 1;
 72    return -1;
 73}
 74LL pri[N],num[N];//分解质因数的底数和指数。
 75int cnt; //质因子的个数
 76void solve(LL n,LL pri[],LL num[])
 77{
 78    cnt = 0 ;
 79    for ( int  i = 0 ; p[i] * p[i] <= n ; i++)
 80    {
 81	if (n%p[i]==0)
 82	{
 83	    int Num = 0 ;
 84	    pri[cnt] = p[i];
 85	    while (n%p[i]==0)
 86	    {
 87		Num++;
 88		n/=p[i];
 89	    }
 90	    num[cnt] = Num;
 91	    cnt++;
 92	}
 93    }
 94    if (n>1)
 95    {
 96	pri[cnt] = n;
 97	num[cnt] = 1;
 98	cnt++;
 99    }
100}
101LL fac[N];
102int cnt2; //n的因子的个数
103void get_fac(LL n)//得到n的所有因子
104{
105    cnt2 = 0 ;
106    for (int i =  1 ; i*i <= n ; i++)
107    {
108	if (n%i==0)
109	{
110	    if (i*i!=n)
111	    {
112		fac[cnt2++] = i ;
113		fac[cnt2++] = n/i;
114	    }
115	    else fac[cnt2++] = i;
116	}
117    }
118}
119LL find_loop(LL n)
120{
121    solve(n,pri,num);
122    LL ans = 1;
123    for ( int i = 0 ; i < cnt ; i++)
124    {
125	LL rec = 1;
126	if (pri[i]==2) rec = 3;
127	else if (pri[i]==3) rec = 8;
128	else if (pri[i]==5) rec = 20;
129	else
130	{
131	    if (legendre(5,pri[i])==1)
132		get_fac(pri[i]-1);
133	    else get_fac(2*pri[i]+2);
134	    sort(fac,fac+cnt2);
135	    for ( int j = 0 ; j < cnt2 ; j++) //挨个验证因子
136	    {
137		Mat tmp = mat_ksm(M,fac[j],pri[i]); //下标从0开始，验证fac[j]为循环节，应该看fib[0]==fib[fac[j]]和fib[1]==fib[fac[j]+1]是否成立
138		tmp = mul(tmp,M1,pri[i]);
139		if (tmp.mat[0][0]==1&&tmp.mat[1][0]==1)
140		{
141		    rec = fac[j];
142		    break;
143		}
144	    }

 1	}
 2	for ( int j = 1 ; j < num[i] ; j++)
 3	    rec *=pri[i];
 4	ans = ans / gcd(ans,rec) * rec;
 5    }
 6    return ans;
 7}
 8void init()
 9{
10    M.clear();
11    M.mat[0][1] = M.mat[1][0] = M.mat[1][1] = 1;
12    M1.clear();
13    M1.mat[0][0] = M1.mat[1][0] = 1;
14}
15int main()
16{
17	#ifndef  ONLINE_JUDGE 
18	freopen("code/in.txt","r",stdin);
19  #endif
20	int T;
21	int cas = 0 ;
22	isprime();
23	scanf("%d",&T);
24	while (T--)
25	{
26	    init();
27	    scanf("%lld",&P);
28	    printf("Case #%d: ",++cas);
29	    LL ret = find_loop(P);
30	    printf("%lld\n",ret);
31	}

1  #ifndef ONLINE_JUDGE  
2  fclose(stdin);
3  #endif
4    return 0;
5}