hdu 4704 Sum (隔板法，指数循环节，费马小定理)

2016-10-26 · 2 min read · number theory 指数循环节费马小定理

题意：定义s(k)为将n分成k个正整数的划分数，给出n，问s(1) + s(2) + ... + s(n-1) + s(n)是多少，结果9+7，其中n<=10^100000。

思路：首先化简要求的式子。

根据隔板法_维基百科

现在有10个球，要放进3个盒子里
    ●●●●●●●●●●
隔2个板子，把10个球被隔开成3个部分
    ●|●|●●●●●●●●、●|●●|●●●●●●●、●|●●●|●●●●●●、●|●●●●|●●●●●、●|●●●●●|●●●●、●|●●●●●●|●●●、......
如此类推，10个球放进3个盒子的方法总数为{ ${\binom {10-1}{3-1}}={\binom {9}{2}}=36$
n个球放进k个盒子的方法总数为{ ${\binom {n-1}{k-1}}$
问题等价于求{ $x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n$ 的可行解数，其中 $x_{1},x_{2},...,x_{k}$ 为正整数。

于是问题转化成：

n个木棍，n-1个缝，
分成1份则是C(n-1,0);
分成2份则是C(n-1,1);
分成3份则是C(n-1,2);
...
分成n份则是C(n-1,n-1);
ans = sum( C(n-1,i) ) (0<=i<=n-1)
=2^(n-1);

这是我能理解的得到2^(n-1)的方式。。。

看到有好多人说这个结论是显然的。。。求指教（说这是个结论记住就好的就算了23333）

接下来，就是求A=2^(n-1)9+7的问题了。。。

根据指数循环节公式A=2^((n-1)%(mod-1))*2^(mod-1)%mod (其中mod=1E9+7)

由于gcd(2,1E9+7)=1,根据费马小定理2^(mod-1)%mod=1，因此A=2^((n-1)%(mod-1))

然后快速幂搞之。

/* ***********************************************
Author :111qqz
Created Time :Wed 26 Oct 2016 06:22:39 PM CST
File Name :code/hdu/4704.cpp
************************************************ */

 1#include <cstdio>
 2#include <cstring>
 3#include <iostream>
 4#include <algorithm>
 5#include <vector>
 6#include <queue>
 7#include <set>
 8#include <map>
 9#include <string>
10#include <cmath>
11#include <cstdlib>
12#include <ctime>
13#define fst first
14#define sec second
15#define lson l,m,rt<<1
16#define rson m+1,r,rt<<1|1
17#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
18typedef long long LL;
19#define pi pair < int ,int >
20#define MP make_pair

 1using namespace std;
 2const double eps = 1E-8;
 3const int dx4[4]={1,0,0,-1};
 4const int dy4[4]={0,-1,1,0};
 5const int inf = 0x3f3f3f3f;
 6const int N=1E5+7;
 7const LL mod = 1E9+7;
 8char st[N];
 9int len;
10LL n;
11LL ksm(LL a,LL b)
12{
13    LL res = 1LL;
14    while (b>0)
15    {
16	if (b&1) res = (res * a) % mod;
17	b = b >> 1LL;
18	a = ( a*a ) % mod;
19    }
20    return res;
21}
22int main()
23{
24	#ifndef  ONLINE_JUDGE 
25	freopen("code/in.txt","r",stdin);
26  #endif

 1	while (~scanf("%s",st))
 2	{
 3	    len = strlen(st);
 4	    n = 0 ;
 5	    for ( int i = 0 ; i < len ; i++)
 6	    {
 7		LL val = st[i]-'0';
 8		n = ((n * 10LL)%(mod-1) + val)% (mod-1);
 9	    }
10	    n = (n-1+mod-1)%(mod-1);
11	    LL ans = ksm( 2,n );
12	    printf("%lld\n",ans);
13	}

1  #ifndef ONLINE_JUDGE  
2  fclose(stdin);
3  #endif
4    return 0;
5}