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16/10/26 18:42

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题意：定义s(k)为将n分成k个正整数的划分数，给出n，问s(1) + s(2) + … + s(n-1) + s(n)是多少，结果%1E9+7，其中n<=10^100000。

思路：首先化简要求的式子。

根据隔板法_维基百科

现在有10个球，要放进3个盒子里

●●●●●●●●●●

隔2个板子，把10个球被隔开成3个部分

●|●|●●●●●●●●、●|●●|●●●●●●●、●|●●●|●●●●●●、●|●●●●|●●●●●、●|●●●●●|●●●●、●|●●●●●●|●●●、……

如此类推，10个球放进3个盒子的方法总数为{ ${\binom {10-1}{3-1}}={\binom {9}{2}}=36$

n个球放进k个盒子的方法总数为{ ${\binom {n-1}{k-1}}$

问题等价于求{ $x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n$ 的可行解数，其中 $x_{1},x_{2},...,x_{k}$ 为正整数。

于是问题转化成：

n个木棍，n-1个缝，

分成1份则是C(n-1,0);

分成2份则是C(n-1,1);

分成3份则是C(n-1,2);

…

分成n份则是C(n-1,n-1);

ans = sum( C(n-1,i) ) (0<=i<=n-1)

=2^(n-1);

这是我能理解的得到2^(n-1)的方式。。。

看到有好多人说这个结论是显然的。。。求指教（说这是个结论记住就好的就算了23333）

接下来，就是求A=2^(n-1)%1E9+7的问题了。。。

根据指数循环节公式A=2^((n-1)%(mod-1))*2^(mod-1)%mod (其中mod=1E9+7)

由于gcd(2,1E9+7)=1,根据费马小定理2^(mod-1)%mod=1，因此A=2^((n-1)%(mod-1))

然后快速幂搞之。




/* ***********************************************
Author :111qqz
Created Time :Wed 26 Oct 2016 06:22:39 PM CST
File Name :code/hdu/4704.cpp
************************************************ */

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#define fst first
#define sec second
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
typedef long long LL;
#define pi pair < int ,int >
#define MP make_pair

using namespace std;
const double eps = 1E-8;
const int dx4[4]={1,0,0,-1};
const int dy4[4]={0,-1,1,0};
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N=1E5+7;
const LL mod = 1E9+7;
char st[N];
int len;
LL n;
LL ksm(LL a,LL b)
{
    LL res = 1LL;
    while (b>0)
    {
	if (b&1) res = (res * a) % mod;
	b = b >> 1LL;
	a = ( a*a ) % mod;
    }
    return res;
}
int main()
{
	#ifndef  ONLINE_JUDGE 
	freopen("code/in.txt","r",stdin);
  #endif

	while (~scanf("%s",st))
	{
	    len = strlen(st);
	    n = 0 ;
	    for ( int i = 0 ; i < len ; i++)
	    {
		LL val = st[i]-'0';
		n = ((n * 10LL)%(mod-1) + val)% (mod-1);
	    }
	    n = (n-1+mod-1)%(mod-1);
	    LL ans = ksm( 2,n );
	    printf("%lld\n",ans);
	}

  #ifndef ONLINE_JUDGE  
  fclose(stdin);
  #endif
    return 0;
}

/* ***********************************************

Author :111qqz

Created Time :Wed 26 Oct 2016 06:22:39 PM CST

File Name :code/hdu/4704.cpp

************************************************ */

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <vector>

#include <queue>

#include <set>

#include <map>

#include <string>

#include <cmath>

#include <cstdlib>

#include <ctime>

#define fst first

#define sec second

#define lson l,m,rt<<1

#define rson m+1,r,rt<<1|1

#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))

typedef long long LL;

#define pi pair < int ,int >

#define MP make_pair

using namespace std;

const double eps = 1E-8;

const int dx4[4]={1,0,0,-1};

const int dy4[4]={0,-1,1,0};

const int inf = 0x3f3f3f3f;

const int N=1E5+7;

const LL mod = 1E9+7;

char st[N];

int len;

LL n;

LL ksm(LL a,LL b)

{

LL res = 1LL;

while (b>0)

{

if (b&1) res = (res * a) % mod;

b = b >> 1LL;

a = ( a*a ) % mod;

}

return res;

}

int main()

{

#ifndef ONLINE_JUDGE

freopen("code/in.txt","r",stdin);

#endif

while (~scanf("%s",st))

{

len = strlen(st);

n = 0 ;

for ( int i = 0 ; i < len ; i++)

{

LL val = st[i]-'0';

n = ((n * 10LL)%(mod-1) + val)% (mod-1);

}

n = (n-1+mod-1)%(mod-1);

LL ans = ksm( 2,n );

printf("%lld\n",ans);

}

#ifndef ONLINE_JUDGE

fclose(stdin);

#endif

return 0;

}

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hdu 4704 Sum (隔板法，指数循环节，费马小定理)

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