hdu 4704 Sum (隔板法，指数循环节，费马小定理)

2016-10-26 · 2 min read · number theory 指数循环节 费马小定理

题目链接

题意：定义s(k)为将n分成k个正整数的划分数，给出n，问s(1) + s(2) + … + s(n-1) + s(n)是多少，结果9+7，其中n<=10^100000。

思路：首先化简要求的式子。

根据隔板法_维基百科

现在有10个球，要放进3个盒子里
    ●●●●●●●●●●

隔2个板子，把10个球被隔开成3个部分

    ●|●|●●●●●●●●、●|●●|●●●●●●●、●|●●●|●●●●●●、●|●●●●|●●●●●、●|●●●●●|●●●●、●|●●●●●●|●●●、......

如此类推，10个球放进3个盒子的方法总数为{ {\binom {10-1}{3-1}}={\binom {9}{2}}=36

n个球放进k个盒子的方法总数为{ {\binom {n-1}{k-1}}

问题等价于求{ x_{1}+x_{2}+…+x_{k}=n 的可行解数，其中 x_{1},x_{2},…,x_{k} 为正整数。

于是问题转化成：

n个木棍，n-1个缝，

分成1份则是C(n-1,0);

分成2份则是C(n-1,1);

分成3份则是C(n-1,2);

…

分成n份则是C(n-1,n-1);

ans = sum( C(n-1,i) ) (0<=i<=n-1)

=2^(n-1);

这是我能理解的得到2^(n-1)的方式。。。

看到有好多人说这个结论是显然的。。。求指教（说这是个结论记住就好的就算了23333）

接下来，就是求A=2^(n-1)9+7的问题了。。。

根据指数循环节公式A=2^((n-1)%(mod-1))*2^(mod-1)%mod (其中mod=1E9+7)

由于gcd(2,1E9+7)=1,根据费马小定理2^(mod-1)%mod=1，因此A=2^((n-1)%(mod-1))

然后快速幂搞之。

 1/* ***********************************************
 2Author :111qqz
 3Created Time :Wed 26 Oct 2016 06:22:39 PM CST
 4File Name :code/hdu/4704.cpp
 5************************************************ */
 6
 7#include <cstdio>
 8#include <cstring>
 9#include <iostream>
10#include <algorithm>
11#include <vector>
12#include <queue>
13#include <set>
14#include <map>
15#include <string>
16#include <cmath>
17#include <cstdlib>
18#include <ctime>
19#define fst first
20#define sec second
21#define lson l,m,rt<<1
22#define rson m+1,r,rt<<1|1
23#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
24typedef long long LL;
25#define pi pair < int ,int >
26#define MP make_pair
27
28using namespace std;
29const double eps = 1E-8;
30const int dx4[4]={1,0,0,-1};
31const int dy4[4]={0,-1,1,0};
32const int inf = 0x3f3f3f3f;
33const int N=1E5+7;
34const LL mod = 1E9+7;
35char st[N];
36int len;
37LL n;
38LL ksm(LL a,LL b)
39{
40    LL res = 1LL;
41    while (b>0)
42    {
43	if (b&1) res = (res * a) % mod;
44	b = b >> 1LL;
45	a = ( a*a ) % mod;
46    }
47    return res;
48}
49int main()
50{
51	#ifndef  ONLINE_JUDGE 
52	freopen("code/in.txt","r",stdin);
53  #endif
54
55	while (~scanf("%s",st))
56	{
57	    len = strlen(st);
58	    n = 0 ;
59	    for ( int i = 0 ; i < len ; i++)
60	    {
61		LL val = st[i]-'0';
62		n = ((n * 10LL)%(mod-1) + val)% (mod-1);
63	    }
64	    n = (n-1+mod-1)%(mod-1);
65	    LL ans = ksm( 2,n );
66	    printf("%lld\n",ans);
67	}
68
69  #ifndef ONLINE_JUDGE  
70  fclose(stdin);
71  #endif
72    return 0;
73}