【dp专题001】bzoj 1009: [HNOI2008]GT考试 (字符串上dp+kmp+矩阵加速线性递推式)

Nov 13, 2016 · 3 min read · dp kmp 快速幂 矩阵

1009: [HNOI2008]GT考试

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Description

　　阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。 他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为 0

Input

　　第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000

Output

　　阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.

Sample Input

4 3 100 111

Sample Output

81

思路：

这次总算想对了状态表示：dp[i][j] 表示当前处理到第i位，最后j位与不吉利串相同的方案数。

然后此时考虑转移，也就是观察第i+1位。

根据第i+1位字符的不同，转移到的 位置也不相同。

从dp[i][j] 可以转移到dp[i+1][k]，这种转移表现为dp[i+1][k] += dp[i][j] (k取决于第i+1位字符)

*我们可以用f[i+1][k]+=f[i][j]trans[j][k]，trans[j][k]表示串s后j位与不吉利串前j位相同，

添加一个字符后后k位与不吉利串前k位相同的方案数。

_001

就是说中间的那一部式子可以化简成矩阵的形式。。因此整个递推式就成了矩阵乘法的形式。

tran数组可以用kmp预处理出来。

重点是注意体会在字符串上dp的思想。

/* ***********************************************
Author :111qqz
Created Time :2016年11月13日 星期日 13时54分33秒
File Name :code/bzoj/1009.cpp
************************************************ */

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#define fst first
#define sec second
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
typedef long long LL;
#define pi pair < int ,int >
#define MP make_pair

using namespace std;
const double eps = 1E-8;
const int dx4[4]={1,0,0,-1};
const int dy4[4]={0,-1,1,0};
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int M=25;
int n;
int m;
int mod;
int nxt[30];
char s[M];
struct Mat
{
    LL mat[M][M];
    void clear()
    {
	ms(mat,0);
    }
    void init()
    {
	ms(mat,0);
	for ( int i = 0 ; i < m ; i++) mat[i][i] =  1;
    }
    void pr()
    {
	for ( int i = 0 ; i < m ; i++)
	{
	    for ( int j = 0 ; j < m ;  j++)
	    {
		printf("%lld ",mat[i][j]);
	    }
	    printf("\n");
	}
    }

}tran;

Mat operator * (Mat a,Mat b)
{
    Mat res;
    res.clear();
    for ( int i = 0 ; i < m;  i++)
	for ( int j = 0 ; j < m ; j++)
	    for ( int k = 0 ; k < m ; k++)
	    {
		res.mat[i][j] = (res.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j])%mod;
	    }
    return res;
}
Mat operator ^ ( Mat a,LL b)
{
    Mat res;
    res.init();
    while (b>0)
    {
	if (b&1) res = res * a;
	b = b >> 1LL;
	a = a * a;
    }
    return res;
}
void getnxt() //下标为1的kmp写法
{
    int len = strlen(s+1);
    nxt[1] =  0;
    for ( int i = 2 , j = 0 ; i <= len ; i++)
    {
	while (j&&s[j+1]!=s[i]) j = nxt[j];
	if (s[j+1]==s[i]) j++;
	nxt[i] = j;
    }
}
void getTran()
{
    for  (  int i = 0 ; i  < m ; i++)
	for ( int j = 0 ; j <= 9 ; j++)
	{
	    int tmp = i ;
	    while (tmp&&(s[tmp+1]-'0')!=j) tmp = nxt[tmp];
	    if ((s[tmp+1]-'0')==j) tran.mat[i][tmp+1]++,tran.mat[i][tmp+1]%=mod;
	    else tran.mat[i][0]++,tran.mat[i][0]%=mod;

	}
}

int main()
{
	#ifndef  ONLINE_JUDGE 
//	freopen("code/in.txt","r",stdin);
  #endif
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);
	scanf("%s",s+1);
	getnxt();
	getTran();
	Mat ans,tmp;
	tmp = tran^n;
	ans.clear();
	ans.mat[0][0] = 1;
	ans = ans*tmp;
//	tmp.pr();
//	ans.pr();
	LL ret = 0 ;
	for ( int i = 0 ; i < m ; i++) ret = ( ret + ans.mat[0][i])%mod;
	printf("%lld\n",ret);

  #ifndef ONLINE_JUDGE  
  fclose(stdin);
  #endif
    return 0;
}