【dp专题001】bzoj 1009: [HNOI2008]GT考试 (字符串上dp+kmp+矩阵加速线性递推式)

2016-11-13 · 3 min read · dp kmp 快速幂矩阵

1009: [HNOI2008]GT考试

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Description

　　阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为 0

Input

　　第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000

Output

　　阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.

Sample Input

4 3 100 111

Sample Output

思路：

这次总算想对了状态表示：dp[i][j] 表示当前处理到第i位，最后j位与不吉利串相同的方案数。

然后此时考虑转移，也就是观察第i+1位。

根据第i+1位字符的不同，转移到的位置也不相同。

从dp[i][j] 可以转移到dp[i+1][k]，这种转移表现为dp[i+1][k] += dp[i][j] (k取决于第i+1位字符)

我们可以用f[i+1][k]+=f[i][j]trans[j][k]，trans[j][k]表示串s后j位与不吉利串前j位相同，*

添加一个字符后后k位与不吉利串前k位相同的方案数。

就是说中间的那一部式子可以化简成矩阵的形式。。因此整个递推式就成了矩阵乘法的形式。
tran数组可以用kmp预处理出来。

重点是注意体会在字符串上dp的思想。

/* ***********************************************
Author :111qqz
Created Time :2016年11月13日 星期日 13时54分33秒
File Name :code/bzoj/1009.cpp
************************************************ */

 1#include <cstdio>
 2#include <cstring>
 3#include <iostream>
 4#include <algorithm>
 5#include <vector>
 6#include <queue>
 7#include <set>
 8#include <map>
 9#include <string>
10#include <cmath>
11#include <cstdlib>
12#include <ctime>
13#define fst first
14#define sec second
15#define lson l,m,rt<<1
16#define rson m+1,r,rt<<1|1
17#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
18typedef long long LL;
19#define pi pair < int ,int >
20#define MP make_pair

 1using namespace std;
 2const double eps = 1E-8;
 3const int dx4[4]={1,0,0,-1};
 4const int dy4[4]={0,-1,1,0};
 5const int inf = 0x3f3f3f3f;
 6const int M=25;
 7int n;
 8int m;
 9int mod;
10int nxt[30];
11char s[M];
12struct Mat
13{
14    LL mat[M][M];
15    void clear()
16    {
17	ms(mat,0);
18    }
19    void init()
20    {
21	ms(mat,0);
22	for ( int i = 0 ; i < m ; i++) mat[i][i] =  1;
23    }
24    void pr()
25    {
26	for ( int i = 0 ; i < m ; i++)
27	{
28	    for ( int j = 0 ; j < m ;  j++)
29	    {
30		printf("%lld ",mat[i][j]);
31	    }
32	    printf("\n");
33	}
34    }

}tran;

 1Mat operator * (Mat a,Mat b)
 2{
 3    Mat res;
 4    res.clear();
 5    for ( int i = 0 ; i < m;  i++)
 6	for ( int j = 0 ; j < m ; j++)
 7	    for ( int k = 0 ; k < m ; k++)
 8	    {
 9		res.mat[i][j] = (res.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j])%mod;
10	    }
11    return res;
12}
13Mat operator ^ ( Mat a,LL b)
14{
15    Mat res;
16    res.init();
17    while (b>0)
18    {
19	if (b&1) res = res * a;
20	b = b >> 1LL;
21	a = a * a;
22    }
23    return res;
24}
25void getnxt() //下标为1的kmp写法
26{
27    int len = strlen(s+1);
28    nxt[1] =  0;
29    for ( int i = 2 , j = 0 ; i <= len ; i++)
30    {
31	while (j&&s[j+1]!=s[i]) j = nxt[j];
32	if (s[j+1]==s[i]) j++;
33	nxt[i] = j;
34    }
35}
36void getTran()
37{
38    for  (  int i = 0 ; i  < m ; i++)
39	for ( int j = 0 ; j <= 9 ; j++)
40	{
41	    int tmp = i ;
42	    while (tmp&&(s[tmp+1]-'0')!=j) tmp = nxt[tmp];
43	    if ((s[tmp+1]-'0')==j) tran.mat[i][tmp+1]++,tran.mat[i][tmp+1]%=mod;
44	    else tran.mat[i][0]++,tran.mat[i][0]%=mod;

}
}

 1int main()
 2{
 3	#ifndef  ONLINE_JUDGE 
 4//	freopen("code/in.txt","r",stdin);
 5  #endif
 6	scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);
 7	scanf("%s",s+1);
 8	getnxt();
 9	getTran();
10	Mat ans,tmp;
11	tmp = tran^n;
12	ans.clear();
13	ans.mat[0][0] = 1;
14	ans = ans*tmp;
15//	tmp.pr();
16//	ans.pr();
17	LL ret = 0 ;
18	for ( int i = 0 ; i < m ; i++) ret = ( ret + ans.mat[0][i])%mod;
19	printf("%lld\n",ret);

1  #ifndef ONLINE_JUDGE  
2  fclose(stdin);
3  #endif
4    return 0;
5}