bzoj 1257: [CQOI2007]余数之和sum (数学)

1257: [CQOI2007]余数之和sum

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Description

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input

输入仅一行，包含两个整数n, k。

Output

输出仅一行，即j(n, k)。

Sample Input

5 3

Sample Output

7

HINT

50%的数据满足：1<=n, k<=1000 100%的数据满足：1<=n ,k<=10^9

思路：一开始的想法。。。很容易想到当n>k的部分。。时可以是可以O(1)出来的。。。

然后对于n<k的部分。。。对于大于i/2的部分。。。是递减的等差数列。。也可以O(1)出来。。。

剩下的一半没时间好想法。。。现在复杂度仍然有5E8...gg\

打了很多表。。。也看出规律2333

于是看了题解。。

正解：k%i可以写成 k-k/i*i

而k/i一共有sqrt(k)种，相同的k/i位置相邻，他们的k%i的值是一个等差数列。。。

这道题就是求Σ(k−⌊k/i⌋∗i)i=1..n简化一下是n∗k−Σ(⌊k/i⌋∗i)i=1..n，显然我们可以发现⌊k/i⌋的取值是一个不上升序列，且有很多取值相同（事实上，⌊k/i⌋的取值只有√k个），那么我们就可以对i中的一段区间求和（这段区间内⌊k/i⌋取值相同），⌊k/i⌋相同且i单调增加1，可以直接算出来，时间复杂度O(√k)

/* ***********************************************
Author :111qqz
Created Time :2016年11月28日 星期一 20时53分24秒
File Name :code/bzoj/1257.cpp
 ************************************************ */

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#define fst first
#define sec second
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
typedef long long LL;
#define pi pair < int ,int >
#define MP make_pair

using namespace std;
const double eps = 1E-8;
const int dx4[4]={1,0,0,-1};
const int dy4[4]={0,-1,1,0};
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int main()
{
#ifndef  ONLINE_JUDGE 
    //	freopen("code/in.txt","r",stdin);
#endif
    LL n,k;
    LL ans = 0 ;
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    LL l,r,cur;
    r = n;
    cur = k/n;
    while (r)
    {
	l = k/(cur+1) + 1;
	ans += (l+r)*(r-l+1)/2 * cur;
	r = l-1;
	if (r==0) break;
	cur = k/r;
    }
    printf("%lld\n",k*n-ans);




#ifndef ONLINE_JUDGE  
    fclose(stdin);
#endif
    return 0;
}