bzoj 1257: [CQOI2007]余数之和sum (数学)
1257: [CQOI2007]余数之和sum
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Description
给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7
Input
输入仅一行，包含两个整数n, k。
Output
输出仅一行，即j(n, k)。
Sample Input
5 3
Sample Output
7
HINT
50%的数据满足：1<=n, k<=1000 100%的数据满足：1<=n ,k<=10^9
思路：一开始的想法。。。很容易想到当n>k的部分。。时可以是可以O(1)出来的。。。
然后对于n<k的部分。。。对于大于i/2的部分。。。是递减的等差数列。。也可以O(1)出来。。。
剩下的一半没时间好想法。。。现在复杂度仍然有5E8…gg\
打了很多表。。。也看出规律2333
于是看了题解。。
正解：k%i可以写成 k-k/i*i
而k/i一共有sqrt(k)种，相同的k/i位置相邻，他们的k%i的值是一个等差数列。。。
这道题就是求Σ(k−⌊k/i⌋∗i)i=1..n简化一下是n∗k−Σ(⌊k/i⌋∗i)i=1..n，显然我们可以发现⌊k/i⌋的取值是一个不上升序列，且有很多取值相同（事实上，⌊k/i⌋的取值只有√k个），那么我们就可以对i中的一段区间求和（这段区间内⌊k/i⌋取值相同），⌊k/i⌋相同且i单调增加1，可以直接算出来，时间复杂度O(√k)
1/* ***********************************************
2Author :111qqz
3Created Time :2016年11月28日 星期一 20时53分24秒
4File Name :code/bzoj/1257.cpp
5 ************************************************ */
6
7#include <cstdio>
8#include <cstring>
9#include <iostream>
10#include <algorithm>
11#include <vector>
12#include <queue>
13#include <set>
14#include <map>
15#include <string>
16#include <cmath>
17#include <cstdlib>
18#include <ctime>
19#define fst first
20#define sec second
21#define lson l,m,rt<<1
22#define rson m+1,r,rt<<1|1
23#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
24typedef long long LL;
25#define pi pair < int ,int >
26#define MP make_pair
27
28using namespace std;
29const double eps = 1E-8;
30const int dx4[4]={1,0,0,-1};
31const int dy4[4]={0,-1,1,0};
32const int inf = 0x3f3f3f3f;
33int main()
34{
35#ifndef ONLINE_JUDGE
36 // freopen("code/in.txt","r",stdin);
37#endif
38 LL n,k;
39 LL ans = 0 ;
40 scanf("%lld%lld",&n,&k);
41 LL l,r,cur;
42 r = n;
43 cur = k/n;
44 while (r)
45 {
46 l = k/(cur+1) + 1;
47 ans += (l+r)*(r-l+1)/2 * cur;
48 r = l-1;
49 if (r==0) break;
50 cur = k/r;
51 }
52 printf("%lld\n",k*n-ans);
53
54
55
56
57#ifndef ONLINE_JUDGE
58 fclose(stdin);
59#endif
60 return 0;
61}