蓄水池抽样算法概述(Reservoir Sampling Algorithm)[转载]

面京东被这个问题卡了QAQ,来补补这方面的课。

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蓄水池抽样算法随机算法的一种,用来从 N 个样本中随机选择 K 个样本,其中 N 非常大(以至于 N 个样本不能同时放入内存)或者 N 是一个未知数。其时间复杂度为 O(N),包含下列步骤 (假设有一维数组 S, 长度未知,需要从中随机选择 k 个元素, 数组下标从 1 开始), 伪代码如下:

算法首先创建一个长度为 k 的数组(蓄水池)用来存放结果,初始化为 S 的前 k 个元素。然后从 k+1 个元素开始迭代直到数组结束,在 S 的第 i 个元素,算法生成一个随机数 j[1,i]j∈[1,i], 如果 j <= k, 那么蓄水池的第 j 个元素被替换为 S 的第 i 个元素。

算法的正确性证明

定理:该算法保证每个元素以 k / n 的概率被选入蓄水池数组。

证明:首先,对于任意的 i,第 i 个元素进入蓄水池的概率为 k / i;而在蓄水池内每个元素被替换的概率为 1 / k; 因此在第 i 轮第j个元素被替换的概率为 (k / i ) * (1 / k) = 1 / i。 接下来用数学归纳法来证明,当循环结束时每个元素进入蓄水池的概率为 k / n.

假设在 (i-1) 次迭代后,任意一个元素进入 蓄水池的概率为 k / (i-1)。有上面的结论,在第 i 次迭代时,该元素被替换的概率为 1 / i, 那么其不被替换的概率则为 1 – 1/i = (i-1)/i;在第i 此迭代后,该元素在蓄水池内的概率为 k / (i-1) * (i-1)/i = k / i. 归纳部分结束。

因此当循环结束时,每个元素进入蓄水池的概率为 k / n. 命题得证。

 

算法的C++实现

实现部分比较简单,关键点也有详细的注释,为了验证算法的正确性,对[1,10]的数组,随机选择前五个进行验证,运行10000次后,每个数字出现的频率应该是基本相等的,算法的运行结果也证实了这一点,如下图所示。

算法的局限性

蓄水池算法的基本假设是总的样本数很多,不能放入内存,暗示了选择的样本数 k 是一个与 n 无关的常数。然而在实际的应用中,k 常常与 n 相关,比如我们想要随机选择1/3 的样本 (k = n / 3),这时候就需要别的算法或者分布式的算法。

 参考文献

【1】 Wikipedia:Reservoir Sampling

 

 

作者: CrazyKK

ex-ACMer@hust,stackoverflow-engineer@sensetime

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