蓄水池抽样算法概述(Reservoir Sampling Algorithm)[转载]
面京东被这个问题卡了QAQ,来补补这方面的课。
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蓄水池抽样算法随机算法的一种,用来从 N 个样本中随机选择 K 个样本,其中 N 非常大(以至于 N 个样本不能同时放入内存)或者 N 是一个未知数。其时间复杂度为 O(N),包含下列步骤 (假设有一维数组 S, 长度未知,需要从中随机选择 k 个元素, 数组下标从 1 开始), 伪代码如下:
array R[k]; // result
integer i, j;
1// fill the reservoir array
2for each i in 1 to k do
3 R[i] := S[i]
4done;
1// replace elements with gradually decreasing probability
2for each i in k+1 to length(S) do
3 j := random(1, i); // important: inclusive range
4 if j <= k then
5 R[j] := S[i]
6 fi
7done
算法首先创建一个长度为 k 的数组(蓄水池)用来存放结果,初始化为 S 的前 k 个元素。然后从 k+1 个元素开始迭代直到数组结束,在 S 的第 i 个元素,算法生成一个随机数 j∈[1,i]j∈[1,i], 如果 j <= k, 那么蓄水池的第 j 个元素被替换为 S 的第 i 个元素。
算法的正确性证明
定理:该算法保证每个元素以 k / n 的概率被选入蓄水池数组。
证明:首先,对于任意的 i,第 i 个元素进入蓄水池的概率为 k / i;而在蓄水池内每个元素被替换的概率为 1 / k; 因此在第 i 轮第j个元素被替换的概率为 (k / i ) * (1 / k) = 1 / i。 接下来用数学归纳法来证明,当循环结束时每个元素进入蓄水池的概率为 k / n.
假设在 (i-1) 次迭代后,任意一个元素进入 蓄水池的概率为 k / (i-1)。有上面的结论,在第 i 次迭代时,该元素被替换的概率为 1 / i, 那么其不被替换的概率则为 1 - 1/i = (i-1)/i;在第i 此迭代后,该元素在蓄水池内的概率为 k / (i-1) * (i-1)/i = k / i. 归纳部分结束。
因此当循环结束时,每个元素进入蓄水池的概率为 k / n. 命题得证。
算法的C++实现
实现部分比较简单,关键点也有详细的注释,为了验证算法的正确性,对[1,10]的数组,随机选择前五个进行验证,运行10000次后,每个数字出现的频率应该是基本相等的,算法的运行结果也证实了这一点,如下图所示。
1#include <iostream>
2#include <string>
3#include <vector>
4#include <cassert>
5#include <cstdio>
6#include <cstdlib>
7#include <ctime>
8using namespace std;
1/**
2 * Reservoir Sampling Algorithm
3 *
4 * Description: Randomly choose k elements from n elements ( n usually is large
5 * enough so that the full n elements may not fill into main memory)
6 * Parameters:
7 * v - the original array with n elements
8 * n - the length of v
9 * k - the number of choosen elements
10 *
11 * Returns:
12 * An array with k elements choosen from v
13 *
14 * Assert:
15 * k <= n
16 *
17 * Author: python27
18 * Date: 2015/07/14
19 */
20vector<int> ReservoirSampling(vector<int> v, int n, int k)
21{
22 assert(v.size() == n && k <= n);
// init: fill the first k elems into reservoir
vector<int> reservoirArray(v.begin(), v.begin() + k);
1 int i = 0;
2 int j = 0;
3 // start from the (k+1)th element to replace
4 for (i = k; i < n; ++i)
5 {
6 j = rand() % (i + 1); // inclusive range [0, i]
7 if (j < k)
8 {
9 reservoirArray[j] = v[i];
10 }
11 }
return reservoirArray;
}
1int main()
2{
3 vector<int> v(10, 0);
4 for (int i = 0; i < 10; ++i) v[i] = i + 1;
1 srand((unsigned int)time(NULL));
2 // test algorithm RUN_COUNT times
3 const int RUN_COUNT = 10000;
4 int cnt[11] = {0};
5 for (int k = 1; k <= RUN_COUNT; ++k)
6 {
7 cout << "Running Count " << k << endl;
vector<int> samples = ReservoirSampling(v, 10, 5);
1 for (size_t i = 0; i <samples.size(); ++i)
2 {
3 cout << samples[i] << " ";
4 cnt[samples[i]]++;
5 }
6 cout << endl;
7 }
1 // output frequency stats
2 cout << "*************************" << endl;
3 cout << "Frequency Stats" << endl;
4 for (int num = 1; num < 11; ++num)
5 {
6 cout << num << " : \t" << cnt[num] << endl;
7 }
8 cout << "*************************" << endl;
return 0;
}
算法的局限性
蓄水池算法的基本假设是总的样本数很多,不能放入内存,暗示了选择的样本数 k 是一个与 n 无关的常数。然而在实际的应用中,k 常常与 n 相关,比如我们想要随机选择1/3 的样本 (k = n / 3),这时候就需要别的算法或者分布式的算法。
参考文献
【1】 Wikipedia:Reservoir Sampling