面京东被这个问题卡了QAQ，来补补这方面的课。
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蓄水池抽样算法是随机算法的一种，用来从 N 个样本中随机选择 K 个样本，其中 N 非常大（以至于 N 个样本不能同时放入内存）或者 N 是一个未知数。其时间复杂度为 O(N)，包含下列步骤 (假设有一维数组 S, 长度未知，需要从中随机选择 k 个元素， 数组下标从 1 开始), 伪代码如下：
1array R[k]; // result
2integer i, j;
3
4// fill the reservoir array
5for each i in 1 to k do
6 R[i] := S[i]
7done;
8
9// replace elements with gradually decreasing probability
10for each i in k+1 to length(S) do
11 j := random(1, i); // important: inclusive range
12 if j <= k then
13 R[j] := S[i]
14 fi
15done算法首先创建一个长度为 k 的数组（蓄水池）用来存放结果，初始化为 S 的前 k 个元素。然后从 k+1 个元素开始迭代直到数组结束，在 S 的第 i 个元素，算法生成一个随机数 j∈[1,i]， 如果 j <= k， 那么蓄水池的第 j 个元素被替换为 S 的第 i 个元素。
算法的正确性证明#
定理：该算法保证每个元素以 k / n 的概率被选入蓄水池数组。
证明：首先，对于任意的 i，第 i 个元素进入蓄水池的概率为 k / i；而在蓄水池内每个元素被替换的概率为 1 / k; 因此在第 i 轮第j个元素被替换的概率为 (k / i ) * (1 / k) = 1 / i。 接下来用数学归纳法来证明，当循环结束时每个元素进入蓄水池的概率为 k / n.
假设在 (i-1) 次迭代后，任意一个元素进入 蓄水池的概率为 k / (i-1)。有上面的结论，在第 i 次迭代时，该元素被替换的概率为 1 / i， 那么其不被替换的概率则为 1 - 1/i = (i-1)/i；在第 i 次迭代后，该元素在蓄水池内的概率为 k / (i-1) * (i-1)/i = k / i. 归纳部分结束。
因此当循环结束时，每个元素进入蓄水池的概率为 k / n. 命题得证。
算法的C++实现#
实现部分比较简单，关键点也有详细的注释，为了验证算法的正确性，对[1,10]的数组，随机选择前五个进行验证，运行10000次后，每个数字出现的频率应该是基本相等的，算法的运行结果也证实了这一点，如下图所示。
代码实现
1#include <iostream>
2#include <string>
3#include <vector>
4#include <cassert>
5#include <cstdio>
6#include <cstdlib>
7#include <ctime>
8using namespace std;
9
10/**
11 * Reservoir Sampling Algorithm
12 *
13 * Description: Randomly choose k elements from n elements ( n usually is large
14 * enough so that the full n elements may not fill into main memory)
15 * Parameters:
16 * v - the original array with n elements
17 * n - the length of v
18 * k - the number of choosen elements
19 *
20 * Returns:
21 * An array with k elements choosen from v
22 *
23 * Assert:
24 * k <= n
25 *
26 * Author: python27
27 * Date: 2015/07/14
28 */
29vector<int> ReservoirSampling(vector<int> v, int n, int k)
30{
31 assert(v.size() == n && k <= n);
32
33 // init: fill the first k elems into reservoir
34 vector<int> reservoirArray(v.begin(), v.begin() + k);
35
36 int i = 0;
37 int j = 0;
38 // start from the (k+1)th element to replace
39 for (i = k; i < n; ++i)
40 {
41 j = rand() % (i + 1); // inclusive range [0, i]
42 if (j < k)
43 {
44 reservoirArray[j] = v[i];
45 }
46 }
47
48 return reservoirArray;
49}
50
51
52int main()
53{
54 vector<int> v(10, 0);
55 for (int i = 0; i < 10; ++i) v[i] = i + 1;
56
57 srand((unsigned int)time(NULL));
58 // test algorithm RUN_COUNT times
59 const int RUN_COUNT = 10000;
60 int cnt[11] = {0};
61 for (int k = 1; k <= RUN_COUNT; ++k)
62 {
63 cout << "Running Count " << k << endl;
64
65 vector<int> samples = ReservoirSampling(v, 10, 5);
66
67 for (size_t i = 0; i <samples.size(); ++i)
68 {
69 cout << samples[i] << " ";
70 cnt[samples[i]]++;
71 }
72 cout << endl;
73 }
74
75 // output frequency stats
76 cout << "*************************" << endl;
77 cout << "Frequency Stats" << endl;
78 for (int num = 1; num < 11; ++num)
79 {
80 cout << num << " : \t" << cnt[num] << endl;
81 }
82 cout << "*************************" << endl;
83
84 return 0;
85}算法的局限性#
蓄水池算法的基本假设是总的样本数很多，不能放入内存，暗示了选择的样本数 k 是一个与 n 无关的常数。然而在实际的应用中，k 常常与 n 相关，比如我们想要随机选择1/3 的样本 (k = n / 3)，这时候就需要别的算法或者分布式的算法。
参考文献#
【1】 Wikipedia：Reservoir Sampling