BZOJ 2257: [Jsoi2009]瓶子和燃料 (裴蜀定理)

2257: [Jsoi2009]瓶子和燃料

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Description

jyy就一直想着尽快回地球,可惜他飞船的燃料不够了。
有一天他又去向火星人要燃料,这次火星人答应了,要jyy用飞船上的瓶子来换。jyy
的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ,经过协商,火星人只要其中的K 个 。 jyy
将 K个瓶子交给火星人之后,火星人用它们装一些燃料给 jyy。所有的瓶子都没有刻度,只
在瓶口标注了容量,第i个瓶子的容量为Vi(Vi 为整数,并且满足1<=Vi<=1000000000 ) 。
火星人比较吝啬,他们并不会把所有的瓶子都装满燃料。他们拿到瓶子后,会跑到燃料
库里鼓捣一通,弄出一小点燃料来交差。jyy当然知道他们会来这一手,于是事先了解了火
星人鼓捣的具体内容。火星人在燃料库里只会做如下的3种操作:1、将某个瓶子装满燃料;
2、将某个瓶子中的燃料全部倒回燃料库;3、将燃料从瓶子a倒向瓶子b,直到瓶子b满
或者瓶子a空。燃料倾倒过程中的损耗可以忽略。火星人拿出的燃料,当然是这些操作能
得到的最小正体积。
jyy知道,对于不同的瓶子组合,火星人可能会被迫给出不同体积的燃料。jyy希望找
到最优的瓶子组合,使得火星人给出尽量多的燃料。

Input

第1行:2个整数N,K,
第2..N 行:每行1个整数,第i+1 行的整数为Vi

Output

仅1行,一个整数,表示火星人给出燃料的最大值。

Sample Input

3 2
3
4
4

Sample Output

4

HINT

选择第2 个瓶子和第 个瓶子,火星人被迫会给出4 体积的容量。

思路:

思路完全错掉了orz…想去贪心来着….

因为自己脑算的例子错掉了…容量3和容量7的瓶子,能得到的最小是1不是2(因为忘了可以从瓶子中倒回燃料库的操作)…

样例一错毁所有orz..

正确的思路是,容量为a,b的两个瓶子能鼓捣出的体积一定是ax+by的形式

根据裴蜀定理,ax+by能得到的最小正数解就是(a,b),也就是gcd(a,b)

由此可以推广到多个瓶子,容量分别为x1,x2,…xn,能得到的最小体积就是gcd(x1,x2..xn)

(能推广的原因还是多说一句吧,假设现在只有两个瓶子x1,x2,称出了gcd(x1,x2),那么其实和只有一个容量为gcd(x1,x2)的瓶子在效果上是等价的)

因为剩下我们要做的就是,统计每个容量的因子统计,找到最大的并且出现此处大于等于k次的…

 

 

作者: CrazyKK

ex-ACMer@hust,researcher@sensetime

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