BSGS(Baby steps giant steps)算法学习笔记
离散对数(Discrete Logarithm)问题是这样一个问题,它是对于模方程
a^x=b(mod prime),求满足条件的X,或者得出不存在这样的X
最暴力的思路,那么就是枚举x? 根据费马小定理,只需要枚举[0,p-1)
但是还是很大...我们不禁想到把x写成x=A*m+B的形式,m=ceil(sqrt(p))
因此有
,变形得到
然后预处理一边存到map中,从小到大枚举另一边看是否存在...
我们可以设
,其中
,
,这样的话化简后的方程就是
就可以不用求出逆元,要注意只是不用求出逆元,而不是没有用到逆元的存在
就可以不用求出逆元,要注意只是不用求出逆元,而不是没有用到逆元的存在
就可以不用求出逆元,要注意只是不用求出逆元,而不是没有用到逆元的存在
其实在m=sqrt(p)的时候你可能就有预感了...
BSGS算法的本质,就是个分块啊,而分块的本质就是暴力乱搞...所以BSGS看起来很高大上的算法不过是暴力乱搞2333
而BSGS的名字也很贴切...A的变化是giant step?B的变化是baby step? (纯属yy...但是我感觉这样想很好理解啊?
需要注意的是,这里介绍的是常规的BSGS算法,
前提条件是a和P互质
前提条件是a和P互质
前提条件是a和P互质
放一个板子好了,poj 2417
/* ***********************************************
Author :111qqz
Created Time :2017年07月23日 星期日 11时11分00秒
File Name :2417.cpp
************************************************ */
1#include <cstdio>
2#include <cstring>
3#include <iostream>
4#include <algorithm>
5#include <vector>
6#include <queue>
7#include <set>
8#include <map>
9#include <string>
10#include <cmath>
11#include <cstdlib>
12#include <ctime>
13#define PB push_back
14#define fst first
15#define sec second
16#define lson l,m,rt<<1
17#define rson m+1,r,rt<<1|1
18#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
19typedef long long LL;
20#define pi pair < int ,int >
21#define MP make_pair
1using namespace std;
2const double eps = 1E-8;
3const int dx4[4]={1,0,0,-1};
4const int dy4[4]={0,-1,1,0};
5const int inf = 0x3f3f3f3f;
6LL p,b,n;
7map<LL,LL>Hash;
8map<LL,LL>::iterator it;
9inline LL ksm(LL a,LL b,LL MOD)
10{
11 LL res = 1LL;
12 while (b)
13 {
14 if (b&1) res = (res*a)%MOD;
15 b = b >> 1;
16 a = (a*a)%MOD;
17 }
18 return res;
19}
20LL BSGS(LL a,LL b ,LL p) // a^x = b (mod p),求x
21{
22 a%=p;
23 b%=p;
24 if (!a&&!b) return 1;
25 if (!a) return -1;
26 Hash.clear();
27 LL m = ceil(sqrt(double(p)));
28 LL tmp = b;
29 for (LL j = 0 ; j <= m ; j++)
30 {
31 Hash[tmp]=j;
32 tmp = (tmp*a)%p;
33 }
34 tmp = ksm(a,m,p);
35 LL ret = 1;
1 for (LL i = 1 ; i <= m+1 ; i++)
2 {
3 ret = ret*tmp%p;
4 if (Hash[ret]) return i*m-Hash[ret]; //注意处理下%....虽然其实不处理也没关系...
5 }
6 return -1;
1}
2int main()
3{
4 #ifndef ONLINE_JUDGE
5 // freopen("./in.txt","r",stdin);
6 #endif
7 while (~scanf("%lld%lld%lld",&p,&b,&n)) // B^L = n(mod p)
8 {
9 LL ans = BSGS(b,n,p);
10 if (ans==-1) printf("no solution\n");
11 else printf("%lld\n",(ans%p+p)%p);
12 }
1 #ifndef ONLINE_JUDGE
2 fclose(stdin);
3 #endif
4 return 0;
5}
参考资料: