kd tree 学习笔记
老规矩，资料先行。
好久没学新算法了，有点忘记怎么学了orz
hdu 2966 In case of failure （k-d树 最近邻近点）
首先来看算法的提出。
现在二维平面上有n个点，知道这n个点的坐标，然后再添加一个点，问n个点中，距离新添加的点距离最近的点。
如果不做任何预处理，那么就是暴力枚举每个点，与该定点的距离。
如何优化呢？ 我们可以考虑把点域均等划分成若干个方块。
这样每次询问的时候只需要查询定点所在方格，以及定点相邻的8个方格中的点与该定点的距离即可。（除非这九个方格中没有点）
这种划分方法，对于随机数据大概是美滋滋，但是数据不会那么随机，因此划分也不能均等划 分。
这个时候， kd-tree 登场。k-d树（ **k-维树**的缩写）是在_k_维欧几里德空间组织点的数据结构
对于二维平面，kd-tree的思想是，提供一种平面的划分方法，使得对于任意输入数据，划分尽可能均匀。
**划分方法其实不唯一，常用的划分方法是，**对于k维中的每一维，按照方差最大的那一维划分。
（看到有些题解中，用该维度的极差（就是最大值-最小值）来作为度量，也就是按照极差最大的那一维度划分。）
(用方差的度量往往比较慢，看到根据二叉树的深度，交替维度也是一种常用做法 比如2016青岛 onsite)
下面是具体的划分过程。
假设现在我们有平面上的点集 E ，其中有 5 个二维平面上的点 ： （1,4）（5,8） （4,2） （7,9） （10，11）
它们在平面上的分布如图：
首先，我们对区间 [ 1 , 5 ] 建树：
先计算区间中所有点在第一维（也就是 x 坐标）上的方差：
平均值 ： ave_1 =5.4
方差 ： varance_1 =9.04
再计算区间中所有点在第二维（也就是 y 坐标）上的方差：
平均值：ave_2 =6.8
方差：varance_2 =10.96
明显看见，varance_2 > varance_1 ，那么我们在本次建树中，分裂方式 ：split_method =2 ， 再将所有的点按照 第 2 维 的大小从小到大排序，得到了新的点的一个排列：
（4,2） （1,4）（5,8） （7,9） （10,11）
取中间的点作为分裂点 sorted_mid =（5，8）作为根节点，再把区间 [ 1 , 2] 建成左子树 , [ 4 , 5] 建成右子树，此时，直线 ： y = 8 将平面分裂成了两半，前面一半给左儿子，后面一半给了右儿子，如图：
建左子树 [1 , 3 ] 的时候可以发现，这时候是 第一维 的方差大 ，分裂方式就是1 ，把区间 [ 1, 2 ] 中的点按照 第一维 的大小，从小到大排序 ，取中间点（1,4） 根节点，再以区间 [ 2, 2] 建立右子树 得到节点 （4,2）
建右子树 [4 , 5 ] 的时候可以发现，这时还是 第一维 的方差大， 于是，我们便得到了这样的一颗二叉树 也就是 K-D tree，它把平面分成了如下的小平面，使得每个小平面中最多有一个点：
可以看见，我们实际上在建树的过程中，把整个平面分成了 4 个部分
树是建了，那么查询呢?
查询过程：
查询，其实相当于我们要将一个点“添加”到已经建好的 K-D tree 中，但并不是真的添加进去，只是找到他应该处于的子空间即可，所以查询就显得简单的毒攻了
每次在一个区间中查询的时候，先看这个区间的分裂方式是什么，也就是说，先看这个区间是按照哪一维来分裂的，这样如果这个点对应的那一维上面的值比根节点的小，就在根节点的左子树上进行查询操作，如果是大的话，就在右子树上进查询操作
每次回溯到了根节点（也就是说，对他的一个子树的查找已经完成了）的时候，判断一下，以该点为圆心，目前找到的最小距离为半径，看是否和分裂区间的那一维所构成的平面相交，要是相交的话，最近点可能还在另一个子树上，所以还要再查询另一个子树，同时，还要看能否用根节点到该点的距离来更新我们的最近距离。为什么是这样的，我们可以用一幅图来说明：
在查询到左儿子的时候，我们发现，现在最小的距离是 r = 10 ，当回溯到父亲节点的时候，我们发现，以目标点（10,1）为圆心，现在的最小距离 r = 10 为半径做圆，与分割平面 y = 8 相交，这时候，如果我们不在父亲节点的右儿子进行一次查找的话，就会漏掉 （10,9） 这个点，实际上，这个点才是距离目标点 （10,1） 最近的点
由于每次查询的时候可能会把左右两边的子树都查询完，所以，查询并不是简单的 log(n) 的，最坏的时候能够达到 sqrt(n)
放一份kd-tree的代码，按照上面讲解的过程（不是作为模板）
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#define INT_INF 0x3fffffff
#define LL_INF 0x3fffffffffffffff
#define EPS 1e-12
#define MOD 1000000007
#define PI 3.141592653579798
#define N 60000
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef double DB;
struct data
{
LL pos[10];
int id;
} T[N] , op , point;
int split[N],now,n,demension;
bool use[N];
LL ans,id;
DB var[10];
bool cmp(data a,data b)
{
return a.pos[split[now]]<b.pos[split[now]];
}
void build(int L,int R)
{
if(L>R) return;
int mid=(L+R)>>1;
//求出 每一维 上面的方差
for(int pos=0;pos<demension;pos++)
{
DB ave=var[pos]=0.0;
for(int i=L;i<=R;i++)
ave+=T[i].pos[pos];
ave/=(R-L+1);
for(int i=L;i<=R;i++)
var[pos]+=(T[i].pos[pos]-ave)*(T[i].pos[pos]-ave);
var[pos]/=(R-L+1);
}
//找到方差最大的那一维，用它来作为当前区间的 split_method
split[now=mid]=0;
for(int i=1;i<demension;i++)
if(var[split[mid]]<var[i]) split[mid]=i;
//对区间排排序，找到中间点
nth_element(T+L,T+mid,T+R+1,cmp);
build(L,mid-1);
build(mid+1,R);
}
void query(int L,int R)
{
if(L>R) return;
int mid=(L+R)>>1;
//求出目标点 op 到现在的根节点的距离
LL dis=0;
for(int i=0;i<demension;i++)
dis+=(op.pos[i]-T[mid].pos[i])*(op.pos[i]-T[mid].pos[i]);
//如果当前区间的根节点能够用来更新最近距离，并且 dis 小于已经求得的 ans
if(!use[T[mid].id] && dis<ans)
{
ans=dis; //更新最近距离
point=T[mid]; //更新取得最近距离下的点
id=T[mid].id; //更新取得最近距离的点的 id
}
//计算 op 到分裂平面的距离
LL radius=(op.pos[split[mid]]-T[mid].pos[split[mid]])*(op.pos[split[mid]]-T[mid].pos[split[mid]]);
//对子区间进行查询
if(op.pos[split[mid]]<T[mid].pos[split[mid]])
{
query(L,mid-1);
if(radius<=ans) query(mid+1,R);
}
else
{
query(mid+1,R);
if(radius<=ans) query(L,mid-1);
}
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&demension)!=EOF)
{
//读入 n 个点
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<demension;j++)
scanf("%I64d",&T[i].pos[j]);
T[i].id=i;
}
build(1,n); //建树
int m,q; scanf("%d",&q); // q 个询问
while(q--)
{
memset(use,0,sizeof(use));
for(int i=0;i<demension;i++)
scanf("%I64d",&op.pos[i]);
scanf("%d",&m);
printf("the closest %d points are:\n",m);
while(m--)
{
ans=(((LL)INT_INF)*INT_INF);
query(1,n);
for(int i=0;i<demension;i++)
{
printf("%I64d",point.pos[i]);
if(i==demension-1) printf("\n");
else printf(" ");
}
use[id]=1;
}
}
}
return 0;
}
然后放一道例题：hdu2966