uva 10870 - Recurrences (矩阵加速线性递推式)

2017-09-30 · 2 min read · 快速幂矩阵矩阵快速幂

uva10870题目链接

题意：

f(n) = a1f(n − 1) + a2f(n − 2) + a3f(n − 3) + . . . + adf(n − d), for n > d

给出f[1]..f[d],a[1]..a[d],问 f[n]%m是多少。

思路：

构造矩阵，加速递推式。

趁着这道题说一下一般的构造法。

转移矩阵M(d*d)的构造方法是，最后一行倒序写a[1]..a[d], 除去第一列和最后一行外，用1填充对角线，其余的为0.

初始矩阵M1(d*1)的构造方法是从上到下，f[1]..f[d]即可。

需要注意的是

*最后答案是 (M^(n-d))M1.mat[d-1][0] (由于经常出现的是d=2的递推式，因此注意不要把此式子的d，写成不够一般化的错误的2

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Author :111qqz
Created Time :2017年10月01日 星期日 03时57分36秒
File Name :10870.cpp
************************************************ */

 1#include <cstdio>
 2#include <cstring>
 3#include <iostream>
 4#include <algorithm>
 5#include <vector>
 6#include <queue>
 7#include <set>
 8#include <map>
 9#include <string>
10#include <cmath>
11#include <cstdlib>
12#include <ctime>
13#define PB push_back
14#define fst first
15#define sec second
16#define lson l,m,rt<<1
17#define rson m+1,r,rt<<1|1
18#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
19typedef long long LL;
20#define pi pair < int ,int >
21#define MP make_pair

 1using namespace std;
 2const double eps = 1E-8;
 3const int dx4[4]={1,0,0,-1};
 4const int dy4[4]={0,-1,1,0};
 5const int inf = 0x3f3f3f3f;
 6const int N=20;
 7int n,d;
 8LL mod;
 9LL a[N],f[N];
10struct Mat
11{
12    LL mat[N][N];
13    void clear()
14    {
15    ms(mat,0);
16    }
17    void print()
18    {
19    for ( int i = 0 ; i < d ; i++)
20        for ( int j = 0 ; j < d ; j++)
21        printf("%lld%c",mat[i][j],j==d-1?'\n':' ');
22    }
23}M,M1;

 1Mat operator * (Mat a,Mat b)
 2{
 3    Mat c;
 4    c.clear();
 5    for ( int i = 0 ; i < d ; i++)
 6    for ( int j = 0 ; j < d ; j++)
 7        for ( int k = 0 ; k < d ; k++)
 8        {
 9        a.mat[i][k]%=mod;
10        b.mat[k][j]%=mod;
11        c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + (a.mat[i][k] * b.mat[k][j])%mod)%mod;
12        }
13    return c;
14}
15Mat operator ^ (Mat a,LL b)
16{
17    Mat ret;
18    ret.clear();
19    for ( int i = 0 ; i < d ; i++) ret.mat[i][i] = 1LL;
20    while (b>0)
21    {
22    if (b&1) ret = ret * a;
23    b = b >> 1LL;
24    a = a * a;
25    }
26    return ret;
27}
28LL solve()
29{
30    if (n==1) return f[1];
31    M1.clear();
32    for ( int i = 1 ; i <= d  ; i++)
33    M1.mat[i-1][0] = f[i];
34    M.clear();
35    for ( int i = 1 ; i <= d ; i++)
36    M.mat[d-1][i-1]=a[d-i+1];
37    for ( int i = 0 ; i < d-1 ; i++)
38    for ( int j = 1 ; j < d ; j++)
39        if (i+1==j) M.mat[i][j] = 1;

   // M.print();

1    Mat ans;
2    ans.clear();
3    ans = (M ^ (n-d))*M1;
4    return ans.mat[d-1][0];
5}

 1int main()
 2{
 3    #ifndef  ONLINE_JUDGE 
 4    freopen("./in.txt","r",stdin);
 5  #endif
 6    while (~scanf("%d %d %lld",&d,&n,&mod))
 7    {
 8        if (d==0&&n==0&&mod==0) break;
 9        for ( int i = 1 ; i <= d ; i++) scanf("%lld",&a[i]);
10        for ( int i = 1 ; i <= d ; i++) scanf("%lld",&f[i]);
11        LL ans = solve();
12        ans = (ans % mod + mod ) % mod;
13        printf("%lld\n",ans);
14    }
15  #ifndef ONLINE_JUDGE  
16  fclose(stdin);
17  #endif
18    return 0;
19}