一笔买入、一笔卖出#
前段时间把基金从业资格考试的两门科目考完了。准备的过程里，我第一次完整地看到"收益率"这个词下面的各种定义，也发现过去自己对它的把握只有一句话：赚到的钱除以本金。
这句话不算错。100 元买入，110 元卖出，收益率 10%，简单直接。但只要有时间加入进来，或者中间多出几笔钱进进出出，同一段投资经历能算出来的数字就不止一个。考完之后我不想只留下一张证，所以借着这几周把每个口径重新推了一遍：它们各自在回答什么问题，什么时候可以互相替代，什么时候不能。
先看最简单的场景。用 100 元买入一项资产，后来以 110 元卖出。中间没有分红，没有手续费，也没有税。赚到的钱是 110 − 100 = 10 元，相对于投入的 100 元，简单收益率是
$$ r = \frac{P_1 - P_0}{P_0} $$\( P_0 \) 是买入价格，也就是期初投入的本金；\( P_1 \) 是卖出价格，也就是期末收回的金额；\( r \) 是这一段持有期里的简单收益率。代入数字，\( r = 10 / 100 = 10\% \)。
这个定义之所以自然，是因为基准只有一个：期初投进去的那 100 元。只要还是一笔进、一笔出，“赚的钱除以本金"和上面的公式说的是同一件事，怎么算都不会有歧义。让我开始觉得不对劲的，是把它用到第二期的时候。
+50% 再 -50%：加法为什么失效#
一个自然的问题：如果第一年涨 50%，第二年跌 50%，是不是刚好回到原点？我第一反应是"涨跌抵消，不赚不亏”。把数字摆出来就不对了。
- 第一年：100 元涨 50%，变成 150 元。
- 第二年：150 元跌 50%，变成 75 元。
最终不是 100，是 75，亏了 25%。
两个 50% 都没有算错，错的是把它们加在一起。第一年的 50%，基准是 100，涨的是 50 元；第二年的 50%，基准已经是 150，跌的是 75 元。百分比变化永远作用在当前的本金上，而本金在变。所以跨期收益只能一期一期乘起来：
$$ 100 \times (1 + 0.5) \times (1 - 0.5) = 75 $$一般地，n 期的累计收益率是
$$ R = \prod_{t=1}^{n} (1 + r_t) - 1 $$\( r_t \) 是第 t 期的收益率；连乘里的每一项 \( 1 + r_t \) 是那一期的增长因子；\( R \) 是整段持有期的累计收益率。百分比变化作用在会变的基准上，所以跨期收益天然是乘法问题，不是加法问题。
还有一个方向要记住：从 75 回到 100，需要上涨 \( 100 / 75 - 1 \approx 33.3\% \)，而不是 25%。跌下去容易，涨回来难。
算术平均与几何平均#
既然两期的收益不能相加，那"平均每年赚多少"该怎么算？这里开始出现两个都叫"平均收益率"的东西。
算术平均把每期的收益率当成普通数字求平均：
$$ \bar{r}_A = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} r_t $$几何平均先做连乘，再开 T 次方：
$$ \bar{r}_G = \left( \prod_{t=1}^{T} (1 + r_t) \right)^{1/T} - 1 $$两个公式长得像，回答的问题不一样：
- 算术平均回答的是"随机抽一个时期，这个时期的平均收益是多少"，适合描述单期收益的平均水平。
- 几何平均回答的是"资金沿完整路径走下去，每一期等效增长了多少"，它直接对应最终财富。
拿 +50%、-50% 这个例子验证。算术平均是 \( (0.5 + (-0.5)) / 2 = 0\% \)；但资金实际从 100 变成了 75，明显不是"不赚不亏"。几何平均是
$$ \sqrt{1.5 \times 0.5} - 1 = \sqrt{0.75} - 1 \approx -13.4\% $$反代回去，\( 100 \times (1 - 0.134)^2 \approx 75 \)，和最终财富对上了。
两个平均的差距有个名字，叫波动拖累（volatility drag）：收益的波动本身会拖慢复利增长。同样的涨跌幅，先跌后涨和先涨后跌，最终财富一样，但都低于按算术平均算出来的结果。跌 50% 要涨 100% 才能回本，就像一件 100 元的商品打对折到 50 元，再想回到 100 元，需要涨的不是 50%，而是 100%。低波动时可以用近似
$$ \bar{r}_G \approx \bar{r}_A - \frac{1}{2} \sigma^2 $$\( \sigma^2 \) 是各期收益率的方差，\( \sigma^2 / 2 \) 是拖累项。在这个例子里，方差是 \( (0.5^2 + (-0.5)^2) / 2 = 0.25 \)，近似给出 \( -12.5\% \)，和真实值 -13.4% 方向一致但数值有偏差。这是低波动下的近似，波动越大，偏差越大。
| 算术平均 | 几何平均 | |
|---|---|---|
| 回答的问题 | 随机抽一期，平均收益是多少 | 资金走完整个路径，每期等效增长多少 |
| 计算方式 | 各期收益率求和再除以期数 | 各期增长因子连乘再开期数次方 |
| +50%、-50% 的结果 | 0% | -13.4% |
| 与最终财富的关系 | 不直接对应 | 直接对应 |
看完这两个定义我才意识到，很多关于"平均收益"的争论，双方可能各说各的：一个在说某类时期有多好，一个在说长期复合下来有多好。数字都没算错，只是回答的问题不同。
复利、累计收益与年化#
上一节的连乘里已经藏着复利：第二年的涨跌作用在上一期结束后的本金上，而不是最初的本金。每一期的收益都会改变下一期开始计息时的本金，这就是复利。
如果持有两年，第一年收益 \( r_1 \)，第二年收益 \( r_2 \)，累计收益率是
$$ R = (1 + r_1)(1 + r_2) - 1 $$假设两年累计赚了 21%，也就是 \( R = 21\% \)。很多人（包括之前的我）会顺手除以 2，说年化 10.5%。但正确的年均复合增长是 10%，因为 \( 1.1 \times 1.1 = 1.21 \)。差的这 0.5 个百分点，来自第二年的收益也在第一年的收益上继续赚：第一年赚到的 10 元，第二年同样按 10% 增长。除以 2 得到的 10.5% 是线性外推，它假设只有本金在赚钱，忽略了收益本身的再投资。
把这件事写成通用形式，就是年化收益率：
$$ r_{ann} = (1 + R)^{1/T} - 1 $$\( R \) 是 T 期的累计收益率，\( r_{ann} \) 是"如果每期都以同一个速度复合，等效的每期收益率是多少"。指数 \( 1/T \) 就是开 T 次方。代入上面的例子，\( 1.21^{1/2} - 1 = 10\% \)。
这个换算的用处是把不同持有期放到同一时间尺度上比较。但它也容易被用过头。假设某项投资一个月赚了 5%：
- 线性外推：\( 5\% \times 12 = 60\% \)。
- 复利年化：\( 1.05^{12} - 1 \approx 79.6\% \)。
两个"年化"差了将近 20 个百分点，原因只是口径不同。而且它们都建立在一个假设上：接下来 11 个月都能复制这个月的收益。对已经发生的收益来说，累计收益率是事实，年化是这个事实的等效换算；对未来的收益来说，年化只是换算出来的速度，它不代表未来真的能按这个速度持续赚钱。看到"年化收益率"几个字，我现在的第一反应是问：这是哪段时间的收益、用什么口径换算、有没有扣除费用。
现金流进来以后，收益率属于谁#
前面的大前提是：钱只在一开始投入一次，中途不动。现实中更常见的是，投资者中途会追加，会赎回，会有分红。只要现金流的时间点不同，同一段行情在不同人账上就会变成不同的收益率。这里用一个最小的例子把问题摊开。
简化成一笔两年期的投资：
- 第 0 年，投入 100 元。
- 第 1 年，组合涨了 20%，变成 120 元。此时追加投资 100 元，组合规模变成 220 元。
- 第 2 年，市场下跌 10%，组合从 220 元变成 198 元。
投资者总共投入 200 元，期末拿回 198 元，亏了 2 元。
时间加权收益率#
先看组合本身在这两年里表现如何，把追加资金的影响剥离掉。
- 第 1 段：期初 100 元，期末 120 元，区间收益 +20%。这 20% 是资产自己涨出来的，与后面追加多少钱无关。
- 第 2 段：追加之后的规模是 220 元，期末 198 元，区间收益 \( 198 / 220 - 1 = -10\% \)。
两段连乘：
$$ R_{TWR} = (1 + 0.2)(1 - 0.1) - 1 = 8\% $$这就是时间加权收益率（time-weighted return，TWR）。它把持有期按现金流发生的时点切成若干区间，每个区间单独算收益，再连乘起来。追加、赎回这些动作只影响区间的划分和每段的期初规模，不会把"投资者在坏时点加了钱"算成基金经理的成绩。评价基金经理的投资能力，用的通常是这个口径：它回答的是"这台投资机器本身跑得怎么样"。
金额加权收益率与 IRR 的直觉#
现在换成投资者自己的视角：他的钱是什么时候进去的，最后变成了多少？
把三个时点的现金流写出来：第 0 年 -100，第 1 年 -100，第 2 年 +198。要找的收益率 r 满足
$$ \sum_{t=0}^{T} \frac{CF_t}{(1 + r)^t} = 0 $$\( CF_t \) 是第 t 期的现金流，投入为负，收回为正。这个式子的意思是：找一个统一的折现率，把所有现金流折算到第 0 年，让它们正好互相抵消。这个折现率就是内部收益率（internal rate of return，IRR）。代入本例的现金流：
$$ 100(1 + r)^2 + 100(1 + r) = 198 $$解得 \( 1 + r \approx 0.9933 \)，即 \( r \approx -0.67\% \)。
同一个投资者、同一只基金，时间加权收益率是 +8%，他自己的资金体验却是每年亏 0.67%。差别全部来自那笔追加资金：它在组合的高点进场，等于把更多本金放在了接下来要下跌的仓位上。第一笔钱其实还是赚的（100 → 120 → 108），第二笔钱亏掉的幅度盖过了它。
时间加权收益率关心机器本身，金额加权收益率关心"我的钱在哪一天进入这台机器"。 两者没有谁更"正确"，只是回答不同的问题。
| 时间加权收益率（TWR） | 金额加权收益率（MWR / IRR） | |
|---|---|---|
| 关心的问题 | 投资本身表现如何 | 投资者自己的资金路径赚了多少 |
| 现金流处理 | 按现金流时点切区间，逐段计算再连乘 | 把每笔现金流的金额和时点都代入求解 |
| 现金流时点是否影响结果 | 不影响，时点只决定分段位置 | 影响很大 |
| 典型使用场景 | 评价基金经理、基金净值收益 | 评价个人账户真实收益、比较不同投资计划 |
这也解释了那个常见困惑：为什么基金公布的收益率和持有人自己的收益经常对不上。公布的数字偏向 TWR，持有人拿到的是自己的 MWR。申购时点、追加时点、赎回时点都在投资者这边，它们决定的才是个人账户的真实结果。IRR 不需要展开数值求解的细节，只要记住它在找的是"让所有现金流现值之和归零的折现率"。也正因为如此，现金流金额越大、发生得越早，对它的影响越明显——折现把早期的钱看得更重。
名义收益与实际收益#
账户里的数字增加，不等于能买到的东西变多。
假设一年赚了 5%，同期物价上涨 3%。100 元变成了 105 元，但去年标价 100 元的一篮子商品，今年要 103 元。账户数字涨了 5%，购买力只涨了
$$ r_{real} = \frac{1 + r_{nom}}{1 + \pi} - 1 = \frac{1.05}{1.03} - 1 \approx 1.94\% $$\( r_{nom} \) 是名义收益率，也就是账户上看到的 5%；\( \pi \) 是同期通货膨胀率 3%；\( r_{real} \) 是实际收益率，衡量购买力的变化。1.94% 比 2% 略小，因为价格水平本身也在动，把 105 元折回去年的价格体系要除以 1.03。
很多资料直接写
$$ r_{real} \approx r_{nom} - \pi $$在上面这组数字里给出 2%，和精确值 1.94% 非常接近。这是低通胀、低收益率下的近似：省略掉的交叉项量级很小，本例只差 0.06 个百分点。如果通胀换成 10%、投资还是 5%，精确值变成 \( 1.05 / 1.10 - 1 \approx -4.5\% \)，减法近似给出 -5%，误差就不能忽略了——账面在赚钱，购买力实际在缩水。
这里还有一个容易忽略的前提：两边必须用同一段时间、同一个价格口径。如果投资跨越多年，通胀也要用同期的累计变化，不能拿一个"平均通胀率"随手去减。名义收益描述账户数字，实际收益描述购买力，两者只有在口径对齐之后才能放在一起比较。
今天的 100 元和一年后的 100 元#
把上面的东西串起来，最后会落到一个更基本的问题：今天的 100 元和一年后的 100 元，为什么不等价？
我试着列了一下理由：
- 今天的钱可以立刻拿去投资，晚拿到的钱少了一年的机会。
- 未来存在不确定性，一年后是否真能拿到要打折扣，晚拿到的钱承担了更多风险。
- 通货膨胀会侵蚀购买力，同样 100 元在一年后买到的东西更少。
- 等待本身需要补偿，人天然偏好现在就能消费。
这些理由合在一起，就是货币时间价值。反过来推，把未来的一笔钱换算成今天的价值，用的就是贴现率。一年后的 FV 元，按贴现率 r 折算到今天：
$$ PV = \frac{FV}{(1 + r)^n} $$反过来，今天的 PV 元按收益率 r 增长 n 期：
$$ FV = PV \times (1 + r)^n $$用一组数字验证：一年后确定能拿到 105 元，如果要求 5% 的年回报，这笔钱的现值是 \( 105 / 1.05 = 100 \) 元；如果要求 8%，现值只有 \( 105 / 1.08 \approx 97.22 \) 元。同样一笔未来现金流，贴现率越高，今天的价格越低。
贴现率可以理解为"把钱借给时间所要求的补偿"，里面同时装着时间、通胀和风险。前面说的 IRR 就是让所有现金流现值之和等于 0 的那个贴现率，只不过它是从现金流反推出来的，而不是事先给定的。
债券定价、估值模型往后都会用到这套框架：把未来的一串现金流，按一个能反映风险和时间的贴现率折算到今天。区别只在于那时的现金流有票息、到期日、违约风险这些具体结构。这篇先把贴现这件事的直觉建立起来，具体资产怎么定价放到后面。
真正值得记住的几件事#
考完之后我试着不看教材，把这几周理过的东西重新讲一遍。如果一年后再看这篇文章，我希望自己还能从下面这几条里恢复出整体框架：
- 百分比变化作用在会变的本金上，所以跨期收益天然是乘法：+50% 再 -50% 得到 75，而不是 100；亏 25% 之后需要赚 33.3% 才回本。
- 算术平均描述单期收益的平均水平，几何平均描述资金沿完整路径的复合增长；收益有波动时两者会分开，波动越大差距越大。
- 复利意味着每一期的收益都在改变下一期的本金；累计收益率是事实，年化收益率是把它换算到一年尺度上的等效速度，不是对未来的承诺。
- 现金流出现之后，“收益率"必须先回答属于谁：TWR 剔除申赎时点、衡量投资本身，MWR / IRR 把每笔钱的金额和时点算进去、衡量投资者的真实体验。
- 名义收益率看账户数字，实际收益率看购买力；低比例下减法够用，比例一高或者跨越多个时期，就要回到 \( (1 + r_{nom}) / (1 + \pi) - 1 \)。
- 今天的钱比未来的钱值钱，贴现率是把未来现金流换算成今天价格的补偿率；IRR 是让所有现金流现值之和归零的那个贴现率。
- 收益率只有在时间区间、复利口径、现金流处理方式都明确之后才有可比性；看到"收益率"三个字，先问它回答的是哪个问题。
收益只描述了投资的一半。同样赚了 10%，过程中是一路平稳还是先腰斩再翻倍，体验和风险完全不同。下一篇从风险写起：波动、回撤，以及为什么需要夏普比率这样的指标把收益和风险放到一起看。