数论

2257: [Jsoi2009]瓶子和燃料 # Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB Submit: 1246 Solved: 756 [Submit][Status][Discuss] Description # jyy就一直想着尽快回地球，可惜他飞船的燃料不够了。 有一天他又去向火星人要燃料，这次火星人答应了，要jyy用飞船上的瓶子来换。jyy 的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ，经过协商，火星人只要其中的K 个 。 jyy 将 K个瓶子交给火星人之后，火星人用它们装一些燃料给 jyy。所有的瓶子都没有刻度，只 在瓶口标注了容量，第i个瓶子的容量为Vi（Vi 为整数，并且满足1<=Vi<=1000000000 ） 。 火星人比较吝啬，他们并不会把所有的瓶子都装满燃料。他们拿到瓶子后，会跑到燃料 库里鼓捣一通，弄出一小点燃料来交差。jyy当然知道他们会来这一手，于是事先了解了火 星人鼓捣的具体内容。火星人在燃料库里只会做如下的3种操作：1、将某个瓶子装满燃料； 2、将某个瓶子中的燃料全部倒回燃料库；3、将燃料从瓶子a倒向瓶子b，直到瓶子b满 或者瓶子a空。燃料倾倒过程中的损耗可以忽略。火星人拿出的燃料，当然是这些操作能 得到的最小正体积。 jyy知道，对于不同的瓶子组合，火星人可能会被迫给出不同体积的燃料。jyy希望找 到最优的瓶子组合，使得火星人给出尽量多的燃料。

题目链接 题意：一个人有n元前，他要交的税是n的最大因子（除n外)，现在这个投机倒把者想把前分成k部分(k为大于等于１的任意值）每部分不能为１，分别交税，问最少交多少税。

题目链接 题意：求一个楼梯数%m的大小。 思路：指数循环节。 需要注意的是，模数只有最外层是m，每往里一层，模数都变成m=phi(m) 所以可以写个dfs或者先预处理出每一层m存一下。

题目链接 题意：定义s(k)为将n分成k个正整数的划分数，给出n，问s(1) + s(2) + … + s(n-1) + s(n)是多少，结果9+7，其中n<=10^100000。 思路：首先化简要求的式子。

题意：M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下： F[0] = a F[1] = b F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 ) 现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？ 思路：观察发现。。。F[n] = a^(fib(n-1)) * b ^ (fib(n))

资料先行： 指数循环节证明 指数循环节2 对指数循环节的一些理解 挂了一点题目，写完来写总结。 vjudge_不会指数循环节的111qqz 写完了。 首先要注意的是： 首先我们知道指数循环节公式，也就是所谓的降幂公式为：a^x = a^(x mod phi(c)+phi(c)) (mod c) x>=phi(c)，（ps：后面的限制条件，在x<phi(c)的时候，该式子依然正确，只不过增加了运算复杂度。。。？ 存疑）

题目链接 题意：给出k个方程，形式为 x==r1，求最小的正数x，无解输出-1. 思路：首先很容易让人联想到crt. 然而crt的使用条件是，所有的m(也就是这道题中的a)两两互质，这道题并不满足，因此不能使用crt.

题目链接： **题意：**人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一 天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日

题目链接 题意：给出a,b,d，分别表示a,b两种刻度的砝码，以及要称量的物体重量为d.现在保证能称量出给定重量的物体，问两种砝码个数的和最小的时候，两种砝码分别有多少。如果有多组解，那么要求weight of(ax + by) 最小。

题目链接 题意： 问 循环for ( int i = a ; i !=b; i+=c)在% （2^k）的意义下循环了多少次。 思路： 一般的思路是： 列方程… 化成扩展欧几里得算法的形式。。。 根据裴蜀定理判断解是否存在…

题目链接 题意：问ax+by=1的一组x>0的解，如果无解输出sorry. 思路：根据裴蜀定理， ax+by=1有解当且gcd(a,b)=1。 然后根据扩展欧几里得算法，我们可以得到一组x,y。需要注意的是，这只是其中一组解。

前置技能点： 维基百科_裴蜀定理（贝祖等式） 对任何整数\( a \) ， \( b \) 和它们的最大公约数\( d \) ，关于未知数\( x \) 和\( y \) 的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：\( ax+by=m \) 有整数解时当且仅当_m_是_d_的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解\( x \) 、\( y \) 都称为裴蜀数，可用扩展欧几里得算法求得。 特别地，方程 \( ax+by=1 \) 有整数解当且仅当整数_a_和_b_互素。（kk:因为1(m=1)只可能是1(d=1)的倍数，也就是说gcd(a,b)=1，即a,b互质）

先放资料。 前置技能点： # 剩余系 剩余系**:设模为m,则根据余数可将所有的整数分成m类，分别记成[0],[1],[2],…[m-1]****，**

题目链接 题意：一段数字串，如果一个数字k满足，将该串分成若干个长度为K的子串，这些子串两两满足每个字符出现的次数一样多，那么称为k是一个阿贝尔周期。现在问所有合法的阿贝尔周期。

题目链接 题意：给出 n 个数，q 个查询，每组一个区间，询问区间中所有数的乘积的欧拉函数对 1e9+7 取模的答案是多少。 思路：这道题需要一点欧拉函数的知识。 phi(n) 是欧拉函数，意义为小于等于 n 并且与 n 互质的数的个数。

1053: [HAOI2007]反素数ant # Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MB Submit: 2750 Solved: 1559 [Submit][Status][Discuss] Description # 对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0<i<x，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。现在给定一个数N，你能求出不超过N的最大的反质数么？

题目链接 题意：求约数个数恰好为n个的最小的x 思路：这道题是作为反素数的例题出现在acdreamer的博客里的。 但是实际上，这道题应该和反素数没有关系。 如果题目问的是最小的约数个数大于等于n的x，那么答案一定是反素数…打表就行了。。。

题目链接 题意：求区间 [a,b] 中约数最多的那个数，如果有多个，输出最小的。 思路：看起来好像和反素数没什么关系……只是打个约数个数的表。 但是实际上，所有的答案恰好都是反素数。 我们回顾反素数的定义：设 f(x) 为 x 的约数个数，那么如果 f(n)>f(i)（0<i<n），n 就被称为反素数。

acdreamer的博客 wiki上的反素数是什么鬼orz…完全不是一个东西吧。。。。 反素数直观得理解。。。就是一个约数特别多的数。。。因为素数的约数最少。。。所以约数多的数就叫反素数（？随便口胡的…

题目链接 题意：给出n个数，m个查询，每组查询一个区间[l,r]，问[l,r]中会被吃掉多少个（区间[l,r]中的数只有当其是其他所有数的因数时才不会被吃掉，顺便问一句。。a divide b 是 a除b，也就是b除以a,b/a的意思嘛23333）