裴蜀定理

2257: [Jsoi2009]瓶子和燃料 # Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB Submit: 1246 Solved: 756 [Submit][Status][Discuss] Description # jyy就一直想着尽快回地球，可惜他飞船的燃料不够了。 有一天他又去向火星人要燃料，这次火星人答应了，要jyy用飞船上的瓶子来换。jyy 的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ，经过协商，火星人只要其中的K 个 。 jyy 将 K个瓶子交给火星人之后，火星人用它们装一些燃料给 jyy。所有的瓶子都没有刻度，只 在瓶口标注了容量，第i个瓶子的容量为Vi（Vi 为整数，并且满足1<=Vi<=1000000000 ） 。 火星人比较吝啬，他们并不会把所有的瓶子都装满燃料。他们拿到瓶子后，会跑到燃料 库里鼓捣一通，弄出一小点燃料来交差。jyy当然知道他们会来这一手，于是事先了解了火 星人鼓捣的具体内容。火星人在燃料库里只会做如下的3种操作：1、将某个瓶子装满燃料； 2、将某个瓶子中的燃料全部倒回燃料库；3、将燃料从瓶子a倒向瓶子b，直到瓶子b满 或者瓶子a空。燃料倾倒过程中的损耗可以忽略。火星人拿出的燃料，当然是这些操作能 得到的最小正体积。 jyy知道，对于不同的瓶子组合，火星人可能会被迫给出不同体积的燃料。jyy希望找 到最优的瓶子组合，使得火星人给出尽量多的燃料。

题目链接 题意： 问 循环for ( int i = a ; i !=b; i+=c)在% （2^k）的意义下循环了多少次。 思路： 一般的思路是： 列方程… 化成扩展欧几里得算法的形式。。。 根据裴蜀定理判断解是否存在…

题目链接 题意：两只青蛙初始在数轴的x,y点，单位时间内分别可以向右跳m米和n米，数轴是环型的，长度为L，问两只青蛙能否相遇，以及相遇时跳的次数。 思路：相遇就是同一时间在同一地点。

题目链接 题意：问ax+by=1的一组x>0的解，如果无解输出sorry. 思路：根据裴蜀定理， ax+by=1有解当且gcd(a,b)=1。 然后根据扩展欧几里得算法，我们可以得到一组x,y。需要注意的是，这只是其中一组解。

前置技能点： 维基百科_裴蜀定理（贝祖等式） 对任何整数\( a \) ， \( b \) 和它们的最大公约数\( d \) ，关于未知数\( x \) 和\( y \) 的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：\( ax+by=m \) 有整数解时当且仅当_m_是_d_的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解\( x \) 、\( y \) 都称为裴蜀数，可用扩展欧几里得算法求得。 特别地，方程 \( ax+by=1 \) 有整数解当且仅当整数_a_和_b_互素。（kk:因为1(m=1)只可能是1(d=1)的倍数，也就是说gcd(a,b)=1，即a,b互质）