hdu 1573 X问题 (exgcd求解一般线性同余方程组解的个数)

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题意:求在小于等于N的正整数中有多少个X满足:X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。

思路:先用扩展欧几里得算法(excrt)解一般同余方程求出一个特解R,然后通解R’ = R + k * LCM(a1..am)

注意一些特殊情况,如果无解输出0,如果n小于最小的正整数的R也输出0,

否则答案为(n-R)/M + 1

 

 

poj 2891 Strange Way to Express Integers (扩展欧几里得算法解一般线性同余方程组)

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题意:给出k个方程,形式为 x%a1==r1,求最小的正数x,无解输出-1.

思路:首先很容易让人联想到crt.

然而crt的使用条件是,所有的m(也就是这道题中的a)两两互质,这道题并不满足,因此不能使用crt.

X mod m1=r1
X mod m2=r2



X mod mn=rn

首先,我们看两个式子的情况
X mod m1=r1……………………………………………………………(1)
X mod m2=r2……………………………………………………………(2)
则有
X=m1*k1+r1………………………………………………………………(*)
X=m2*k2+r2
那么 m1*k1+r1=m2*k2+r2
整理,得
m1*k1-m2*k2=r2-r1
令(a,b,x,y,m)=(m1,m2,k1,k2,r2-r1),原式变成
ax+by=m
熟悉吧?此时,因为GCD(a,b)=1不一定成立,GCD(a,b) | m 也就不一定成立。所以应该先判 若 GCD(a,b) | m 不成立,则方程无解。(理论依据:裴蜀定理
否则,继续往下。

解出(x,y),将k1=x反代回(*),得到X。
于是X就是这两个方程的一个特解,通解就是 X’=X+k*LCM(m1,m2)
这个式子再一变形,得 X’ mod LCM(m1,m2)=X
这个方程一出来,说明我们实现了(1)(2)两个方程的合并。
令 M=LCM(m1,m2),R=r2-r1 注意这里原博客写错了,应该为R=x*m1+r1
就可将合并后的方程记为 X mod M = R。

然后,扩展到n个方程。
用合并后的方程再来和其他的方程按这样的方式进行合并,最后就能只剩下一个方程 X mod M=R,其中 M=LCM(m1,m2,…,mn)。
那么,X便是原模线性方程组的一个特解,通解为 X’=X+k*M。

如果,要得到X的最小正整数解,就还是原来那个方法:

X%=M;
if (X<0) X+=M;

参考博客

这篇题解是我看了那么多讲得最清楚的一篇了….虽然证明的那个地方笔误了。。。好在对照下代码就看出来了(个鬼,我问了好几个人,想到现在。。。最后发现是笔误。好气啊

这道题实际上给出了解线性同余方程组的一般做法(即,不要求所有的m两两互质)

这种做法的理论依据是扩展欧几里得算法,和中国剩余定理没什么关系…

不过既然都是解线性同余方程组。。。非要把这种做法叫什么ex_crt…我也不是很反对….

 

 

 

poj 1006 Biorhythms (中国剩余定理模板题)

题目链接:

题意:人自出生起就有体力,情感和智力三个生理周期,分别为23,28和33天。一个周期内有一天为峰值,在这一

天,人在对应的方面(体力,情感或智力)表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日

期,分别对应于体力,情感,智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期,要求从这一天开始,算出最少

再过多少天后三个峰值同时出现。

 

思路:解一个线性同余方程。crt的模板题。

关于crt的讲解:中国剩余定理学习笔记

几年前就A过了,现在重新写题解复习一下。

 

 

中国剩余定理(crt)学习笔记

 

前置技能点:

维基百科_裴蜀定理(贝祖等式)

对任何整数a, b和它们的最大公约数d,关于未知数xy线性丢番图方程(称为裴蜀等式):ax+by=m

有整数解时当且仅当md倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解,每组解xy都称为裴蜀数,可用扩展欧几里得算法求得。

特别地,方程 ax+by=1 有整数解当且仅当整数ab互素。(kk:因为1(m=1)只可能是1(d=1)的倍数,也就是说gcd(a,b)=1,即a,b互质)

 

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