BZOJ 2257: [Jsoi2009]瓶子和燃料 (裴蜀定理)

2257: [Jsoi2009]瓶子和燃料

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 1246  Solved: 756
[Submit][Status][Discuss]

Description

jyy就一直想着尽快回地球,可惜他飞船的燃料不够了。
有一天他又去向火星人要燃料,这次火星人答应了,要jyy用飞船上的瓶子来换。jyy
的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ,经过协商,火星人只要其中的K 个 。 jyy
将 K个瓶子交给火星人之后,火星人用它们装一些燃料给 jyy。所有的瓶子都没有刻度,只
在瓶口标注了容量,第i个瓶子的容量为Vi(Vi 为整数,并且满足1<=Vi<=1000000000 ) 。
火星人比较吝啬,他们并不会把所有的瓶子都装满燃料。他们拿到瓶子后,会跑到燃料
库里鼓捣一通,弄出一小点燃料来交差。jyy当然知道他们会来这一手,于是事先了解了火
星人鼓捣的具体内容。火星人在燃料库里只会做如下的3种操作:1、将某个瓶子装满燃料;
2、将某个瓶子中的燃料全部倒回燃料库;3、将燃料从瓶子a倒向瓶子b,直到瓶子b满
或者瓶子a空。燃料倾倒过程中的损耗可以忽略。火星人拿出的燃料,当然是这些操作能
得到的最小正体积。
jyy知道,对于不同的瓶子组合,火星人可能会被迫给出不同体积的燃料。jyy希望找
到最优的瓶子组合,使得火星人给出尽量多的燃料。

Input

第1行:2个整数N,K,
第2..N 行:每行1个整数,第i+1 行的整数为Vi

Output

仅1行,一个整数,表示火星人给出燃料的最大值。

Sample Input

3 2
3
4
4

Sample Output

4

HINT

选择第2 个瓶子和第 个瓶子,火星人被迫会给出4 体积的容量。

思路:

思路完全错掉了orz…想去贪心来着….

因为自己脑算的例子错掉了…容量3和容量7的瓶子,能得到的最小是1不是2(因为忘了可以从瓶子中倒回燃料库的操作)…

样例一错毁所有orz..

正确的思路是,容量为a,b的两个瓶子能鼓捣出的体积一定是ax+by的形式

根据裴蜀定理,ax+by能得到的最小正数解就是(a,b),也就是gcd(a,b)

由此可以推广到多个瓶子,容量分别为x1,x2,…xn,能得到的最小体积就是gcd(x1,x2..xn)

(能推广的原因还是多说一句吧,假设现在只有两个瓶子x1,x2,称出了gcd(x1,x2),那么其实和只有一个容量为gcd(x1,x2)的瓶子在效果上是等价的)

因为剩下我们要做的就是,统计每个容量的因子统计,找到最大的并且出现此处大于等于k次的…

 

 

poj 2115 C Looooops (扩展欧几里得算法)

题目链接

题意: 问 循环for ( int i = a ; i !=b; i+=c)在% (2^k)的意义下循环了多少次。

思路:

一般的思路是:

列方程…

化成扩展欧几里得算法的形式。。。

根据裴蜀定理判断解是否存在…

然后用对用扩展欧几里得算法求出的X,Y按照题目要求调整。

 

poj 1061 青蛙的约会 (扩展欧几里得算法(负数的处理))

 

 

 

题目链接

题意:两只青蛙初始在数轴的x,y点,单位时间内分别可以向右跳m米和n米,数轴是环型的,长度为L,问两只青蛙能否相遇,以及相遇时跳的次数。

思路:相遇就是同一时间在同一地点。

 那么有方程 x+ C*m = y + C*n + k*L 其中C为跳的次数,k为之间差了L的个数(可以理解为被套圈的圈数)

化简得到 C(m-n) + K*L = y-x.

根据裴蜀定理,该方程有解,当且仅当y-x是gcd(m-n,L)的倍数。

然后根据扩展欧几里得算法,需要注意的是其中可能有负数。

如果a是负数,可以把问题转化成

\left|a\right|(-x)+by=\gcd(|a|,b)\left|a\right|为a的绝对值),然后令x'=(-x)

第二个需要注意的是,扩展欧几里得算法求出的是ax+by=gcd(a,b)的解,x,y还要乘对应的倍数才能得到正确的解。

第三个需要注意的是,跳的次数一定为正,这是隐含条件。

用了上道题用的while去得到第一个大于0的X会TLE

所以其实 X = ( X % gx + gx) %gx就好。。。? (其中gx = b/gcd(a,b))

 

 

 

 

hdu 2669 Romantic (扩展欧几里得模板题)

题目链接

题意:问a*x+b*y=1的一组x>0的解,如果无解输出sorry.

思路:根据裴蜀定理, a*x+b*y=1有解当且gcd(a,b)=1。

然后根据扩展欧几里得算法,我们可以得到一组x,y。需要注意的是,这只是其中一组解。

x,y的通解为:(x+k*gx , y-k*gy ) 其中:gx= b/gcd(a,b),gy = a/gcd(a,b),k为任意整数 

 

 

中国剩余定理(crt)学习笔记

 

前置技能点:

维基百科_裴蜀定理(贝祖等式)

对任何整数a, b和它们的最大公约数d,关于未知数xy线性丢番图方程(称为裴蜀等式):ax+by=m

有整数解时当且仅当md倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解,每组解xy都称为裴蜀数,可用扩展欧几里得算法求得。

特别地,方程 ax+by=1 有整数解当且仅当整数ab互素。(kk:因为1(m=1)只可能是1(d=1)的倍数,也就是说gcd(a,b)=1,即a,b互质)

 

继续阅读“中国剩余定理(crt)学习笔记”