从高斯消元到矩阵的 Rank：重新理解主元、自由变量与低秩

hust.111qqz@gmail.com (111qqz) — Wed, 11 Nov 2026 22:10:00 +0800

最近在看 LoRA（Low-Rank Adaptation）的时候，碰到了一个公式：

$$ \Delta W = BA $$

其中 $B \in \mathbb{R}^{m \times r}$，$A \in \mathbb{R}^{r \times n}$，中间那个维度 $r$ 被称为 Rank。

我对 Rank 这个词并不陌生——以前在 ACM-ICPC 里写高斯消元的时候，算自由变量个数就用到了矩阵的秩。但当时的关注点全在怎么求解、怎么判断无解多解、怎么把实际问题转化成线性方程组。至于 Rank 本身代表什么数学结构、跟低秩分解有什么关系，说实话没有认真想过。

Linear-Algebra on 111qqz的小窝